К.п.н. В.О. Ваганян

Сочинский институт Российского университета дружбы народов, Россия

К.п.н. Бакеева Л.В.

Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», Россия

Формирование компетенций: математический и философский подходы

Значимость курса «Математики» и ее междисциплинарных связей с естественно-научными дисциплинами для представителей самых разных направлений подготовки очень велика и очевидна. Организация процесса обучения при компетентностном подходе (ФГОС) предполагает понимание междисциплинарных связей как применение знаний по одной дисциплине в предметном поле другой дисциплины не только между естественно-научными дисциплинами, но и между естественно-научными и гуманитарными дисциплинами. Несомненно, методика обучения «Математике» в вузе предполагает разработку и реализацию системного подхода к изучению основных компонентов, ведущий к глубокому и осознанному усвоению студентов логической основы курса. При этом иногда необходимо «провоцировать» их познавательную, исследовательскую активности посредством постановки совсем уж «нестандартных» задач. Например, о размерности разума. Приведем несколько «решений».

Многомерность – число измерений – размерность. Именно в такой логической последовательности можно связать точный (математический) и философский смыслы этих понятий, потому что привычные нашему пониманию свойства пространства, времени или человека быть многогранными (многомерными) воспринимаются как количество измерений – размерность. Поэтому каждому значению размерности разума можно соотнести математическое свойство.

I. Размышления о проблеме четырёх красок. В 1852 году Фрэнсис Гутри высказал гипотезу: любую географическую карту можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы страны с общей границей были закрашены в разные цвета. Оказалось, что существует процедура раскраски карты, которая может осуществить ЭВМ. В 1976 году американские математики К. Аппель и В. Хакен на ЭВМ доказали гипотезу Гутри [1, 119].

1. Требуется закрасить произвольную «карту» в нульмерном пространстве, чтобы «соседние страны» закрасились в разные цвета. Для раскраски этой (точечной) «карты» достаточно одной краски. Точка символизирует 0-мерный разум. Чтобы закрасить объект в нульмерном пространстве достаточно краски.

2. Требуется закрасить произвольную «карту» в одномерном пространстве, чтобы «соседние страны» закрасились в разные цвета. Для раскраски этой (линейной) «карты» достаточно двух красок. Прямая символизирует 1-мерный разум. Чтобы так закрасить объект в одномерном пространстве достаточно красок.

3. Требуется закрасить произвольную карту в двумерном пространстве, чтобы соседние страны закрасились в разные цвета. Для раскраски этой (плоской) карты достаточно четырёх красок. Плоскость символизирует 2-мерный разум. Чтобы так закрасить объект в двумерном пространстве, как доказано Аппелем и Хакеном, достаточно красок.

4. Если «обобщить» задачу о четырёх красках на n-мерное евклидовое пространство, то покажется, что потребуется «красок» (в трёхмерном пространстве потребуется красок). Интересно рассмотреть проблему «четырёх красок», проблему «восьми красок» и т.д. с этой точки зрения.

Замечание. Число «4» фигурирует и в проблеме алгебраических уравнений высших степеней в радикалах, и в проблеме четырёх красок. В решениях обеих проблем число «4» представляет собой экстремальное значение – максимальное значение показателя степени общего алгебраического уравнения, разрешимое в радикалах и минимальное число красок, необходимых для раскраски произвольной карты.

II. О размерности разума [2, 39]. Гипотеза: Любая субстанция обладает разумом такой размерности, какой размерности пространство выражает собой. В этом высказывании мы абстрагируемся от других измерений субстанции, которые менее ярко выражены в ней, но без них данная субстанция перестала бы функционировать. Проще говоря, точка, прямая, плоскость и пространство не существуют друг без друга.

Неживые предметы можно рассматривать как точки (нульмерные пространства). Пуговица, электрон, звезда выражают нульмерные пространства – обладают нульмерным (точечным) разумом. Нульмерный разум, если судить по законам макро- и микромиров, наделён богатыми, разносторонними, запрограммированными (не творческими) свойствами. В определённых условиях из нульмерного разума получаются объекты и существа, обладающие разумом более высокой размерности – микробы, растения и т.п. Микробы и растения можно рассматривать как линии (их движения в отдельности, по мелким отрывкам, являются линейными).

Травы, деревья, примитивные живые существа выражают собой одномерные пространства – обладают одномерным (линейным) разумом. В определённых условиях в результате длительного эволюционного развития из носителей одномерного разума получаются существа, обладающие разумом более высокой размерности – развитые живые организмы.

Кошка, корова и т.п. двигаются на плоскости (поверхности планеты). Их туловища в основном параллельны поверхности Земли. Эти животные своими телами выражают плоскости (поверхности) – двумерные пространства. Птицы, рыбы и т.п. тоже двигаются по определённым поверхностям. Их «туловища» также в основном остаются параллельными поверхности Земли. Часто особо умные животные (дельфины, лошади, обезьяны, медведи, собаки и др.) принимают перпендикулярную поверхности Земли позу, будто пытаются войти в трёхмерное пространство. Коровы, кошки, собаки и т.п. выражают собой двумерное пространство – обладают двумерным (поверхностным) разумом.

Туловище человека в основном находится в перпендикулярном к поверхности Земли состоянии. Тело человека выражает трёхмерное пространство: человек обладает трёхмерным (пространственным) разумом. Трёхмерный разум иногда проявляет способность превращаться в «четырёхмерный» («многомерный» или «безмерный») разум. Это случается, когда человек абстрагируется от своего тела и освобождает свой разум от его «трёхмерных оков». Такие свойства обычно проявляют гении, таланты, пророки, экстрасенсы, герои и др. неординарные люди. Трёхмерный (человеческий) разум часто подчиняется свойствам двумерного (животного) разума, но иногда преодолевает 0, 1, 2, 3-мерные разумы и выходит в «многомерность» или «безмерность».

Наша картина иерархии разума довольно упрощённа и схематична. Существуют промежуточные состояния разума, которые плохо вписываются в эту картину. Для их более-менее адекватного математического моделирования существует математический аппарат – фрактальная геометрия. Нам кажется, что в этой проблеме фрактальную геометрию дополнит математика с параметром времени.

Таким образом, подход к междисциплинарным связям в контексте естественно-научных и гуманитарных дисциплин открывает дополнительные пути обновления содержания, форм и методов обучения в вузе с целью формирования общекультурных и общепрофессиональных компетенций.

Литература

1. Appel, K., Haken, W. The solution pf the color map problem / K. Appel, W. Haken // Sci. Amer. – 1977. – Vol. CXXXVII. – № 10. – P. 108–121.

2. Ваганян, В.О. Математика с параметром времени: основания и философия / В.О. Ваганян. – М.: РУДН, 2010. – 318 с.