к.т.н., доцент Юничева Н. Р.

Институт информационных и вычислительных технологий, Алматы

О ФОРМАЛЬНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ С НЕТОЧНЫМИ ДАННЫМИ

В статье [1] было показано, что задача параметрического синтеза управления объектами с неточно известными данными сводится к разрешимости интервальной системы линейных алгебраических уравнений. С другой стороны, хорошо известно, что нахождение решения таких интервальных систем является NP- трудной задачей.

Обзор литературных источников по прикладному интервальному анализу выявляет существующие типы решений подобных систем [2] .

В интервальном анализе существуют следующие различные определения понятий решения интервальной системы алгебраических интервальных уравнений:

Объединенное множество решений,

, (1)

которое образуется решениями всех систем с и .

Задачу построения множества вида (2) принято называть задачей идентификации.

Допустимое множество решений

, (2)

которое образуется всеми такими векторами , что произведение попадает в для любой .

Задача построения множества вида (2) называется линейной задачей о допусках. Любопытным является тот факт, что исходная мотивация введения и изучения допусковых решений пришла из задачи конструирования подъемного крана и задачи расчета межотраслевого экономического баланса при неточных данных [2].

Управляемое множество решений

, (3)

образованное такими векторами , что для любого желаемого можно подобрать соответствующую удовлетворяющую .

Задача построения множества вида (3) является задачей управления. Управляемые решения впервые были введены Шарым [3].

Формальные решения (их еще называют «алгебраическими») были впервые введены Рачеком и Зауэром [4]. Описание и вычисление формальных решений интервальных линейных систем довольно сложный процесс, однако точечные формальные решения лишены подобных трудностей.

В статье рассмотрен формальный тип решения вышеуказанных интервальных систем. Разработан вычислительный алгоритм.

Как было отмечено, поставленная задача сведена к разрешимости системы линейных интервальных алгебраических включений:

(4)

где - интервальная матрица, составленная из элементов матрицы и вектора объекта управления; - интервальный вектор, составленный из коэффициентов при соответствующей степени характеристического полинома объекта управления; - интервальный вектор, составленный из коэффициентов при соответствующей степени желаемого характеристического полинома замкнутой системы управления.

Интервальный вектор называется формальным решением системы , если его подстановка в эту систему и выполнение всех операций по правилам интервальной математики приводит к верному равенству.

Далее выделим точечное формальное решение, которое удовлетворяет следующему уравнению:

(5)

Докажем, что вектор является точечным формальным решением системы тогда и только тогда, когда он удовлетворяет системе следующего вида:

, (6)

где , серединные матрицы; ,

, (7)

где всегда неотрицательная матрица радиусов, ; всегда неотрицательный вектор радиусов, .

По предложению [5] система (2) эквивалентна нижеследующей системе.

, (8)

Что влечет (6),(7). Однако, с другой стороны, из системы (6),(7) следует (8), и следовательно, вытекает (5).

Согласно теореме из [5] вектор является точечным формальным решением системы тогда и только тогда, когда он является как допусковым, так и управляемым ее решением. Если матрица является неособенной, то система имеет точечное формальное решение тогда и только тогда, когда эти данные удовлетворяют следующей системе

(9)

и в этом случае вектор является единственным таким решением.

Литература

1. Юничева Н.Р. Построение и исследование динамических систем управления линейными интервально-заданными объектами на основе метода общего параметра. Алматы.: ТОО «Классика», 2002. С. 31-32.

2. Шокин Ю.И. Интервальный анализ. Новосибирск.: Наука, Сиб.отд-ие, 1981. 107 с.

3. Шарый С.П. Линейные статические системы с интервальной неопределенностью: эффективние алгоритмы для решения задач управления и стабилизации // Вычислительные технологии, 1995. Т 4. С. 331-356.

4. Khlebalin N.A. Modal Control of Plants with Uncertain Interval Parameters, in: Proc. Intern. Workshop «Control System Syntesis: Theory and Application», Novosibirsk, 1991. -P. 168-173.

5. Fiedler M., Nedoma J, Ramik J., Rohn J., Zimmerman K. Linear optimization problems with inexact data M.: Institute of computer researches. 2008. – 288p.