УДК 531.1/3(076)

Посмитюха А.П., доц. Бондаренко Л.Н. студент группы 330П1 Абдураманов С.А.

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В. Лазаряна, Днепропетровск, Украина

УТОЧНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ НА ИЗМЕНЕНИЕ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Постановка задачи. Не перечисляя все рекомендуемые этапы при решении задачи динамики вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, отметим только один из этапов: необходимо вычислить сумму моментов всех внешних сил относительно оси вращения [1] , а уже после записывать дифференциальные уравнения вращения вокруг неподвижной оси

                                    .                                          (1)

Естественно, что в подобных задачах обязательно присутствует момент силы трения скольжения.

Цель статьи. Уточнить величину силы трения скольжения в задачах динамики о вращении твердого тела вокруг неподвижной приработанной оси.

Материал исследований. Решим известную задачу, уточнив величину силы трения скольжения. Условие задачи в сокращенном виде формируется так [1]. Кольцо  радиуса  насажено на неподвижный горизонтальный вал  радиуса  и в начальный момент кольцу сообщается угловая скорость  (рис. 1). Необходимо определить, сколько оборотов сделает кольцо до остановки, если коэффициент трения скольжения кольца о вал равен .

Перед решением задачи остановимся на принятом допущении, что кольцо  при вращении соприкасается с осью  в точке . Такое соприкосновение можно допустить только при качении кольца вокруг не приработанной оси.

Главный момент внешних сил относительно оси :

                                   .                                         (2)

Рис. 1. Схема к условию задачи (а); распределение нормальных давлений по дуге контакта (б)

Поскольку износ прямо пропорционален удельному давлению , то надо полагать, что износ в направлении нормали пропорционален удельному давлению, т.е.

                                        .                                            (3)

Очевидно, что максимальным давление будет при , а минимальный при .

Таким образом

                                       .                                             (4)

Выделив элементарную площадку на оси радиуса  и длиной , прикладываем к ней нормальную силу  и силу трения .

Условие равновесия кольца

                             .                                  (5)

Второй интеграл в силу симметричности равен нулю, поэтому

   .         (6)

Момент трения  найдем из второго условия равновесия (7)

или

                                  .                                        (8)

Момент инерции кольца при весе

                              .                                   (9)

С учетом этих величин уравнение вращение

                   .                          (10)

откуда

                       .                          (11)

При начальных условиях , , .

                                                 (12)

При начальных условиях  из этого уравнения получаем

                   .                      (13)

Чтобы определить угол поворота , на которой повернется кольцо до остановки, необходимо иметь в виду, что в момент остановки , угловая скорость . Подставив эти значения в уравнение (12), получим

                                                 (14)

Из (13) определим угол поворота кольца в момент остановки .

                                               (15)

Число оборотов, которое сделает кольцо до остановки

                                        (16)

Для расчетов принимаем  мм;  мм;    мм; ;  с-1 (рис. 2).

Зависимость  от угла  показана на рис. 2.

Это задача решается также с помощью теоремы об изменении кинематической энергии в интегральной форме, что при нулевых начальных условиях значительно сокращает объем вычислений.

Записываем теорему об изменении кинематической энергии:

                                                 (17)

Найдем сумму работ всех внешних сил системы

                              .                                 (18)

где  – искомое угловое перемещение кольца до момента остановки, т.е.

                            .                               (19)

Кинематическая энергия кольца в начальном положении

                                                                         (22)

Кинематическая энергия в момент остановки

                                                                                       (21)

Поскольку кольцо абсолютно твердое тело, то

                                        .                                           (22)

Рис. 2.  Зависимость от угла  износа оси: 1 – углового ускорения кольца, ; 2 – угла поворота кольца в момент остановки,  3 – число оборотов, которое сделает кольцо до остановки ; 4 – время остановки

Подставив значения из формул (19), (20), (21), (22) в уравнение (17) об изменении кинематической энергии, и решив его относительно , получим те же уравнения (15) и (16).

Анализ полученных зависимостей и графиков на рис.2 позволяет сделать следующие выводы:

- износ (приработка) валов и цапф в задачах с изменяющимся главным моментом количества движения необходимо учитывать при определении, например, угла поворота в момент остановки и числа оборотов до остановки;

- малый процент расхождений в значениях величин при  и  следует отнести на счет малого веса кольца.

 

Литература:

1.                 Теоретическая механика в примерах и задачах: В 2м. Т.2/Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзан А.С. – М.: Наука, 1968. – 624с.

2.                 Кожевников С.Н. Теория механизмов и машин. – М.: Машиностроение, 1969. – 584 с.