Карачун В.В., Мельник В.Н.
Национальный технический университет Украины «КПИ»
аКУСТИЧЕСКИЙ ИМПЕДАНС ПОПЛАВКОВОГО ПОДВЕСА
Продемонстрируем схему реализации метода Бубнова-Галеркина на уравнениях подвеса:
(1)
(2)
(3)
Для других уравнений все процедуры аналогичны.
Вначале
аппроксимируем отыскиваемые функции в самом общем виде:
(4)
В принятых аппроксимациях использованы такие значения:
(5)
- множества координатных функций
в направлении координаты z, полные и независимые в интервале (0,1).
При использовании метода
Бубнова-Галеркина, аппроксимации вида (3) предполагаются удовлетворяющими всем
(кинематическим и силовым) граничным условиям при z=0, z=1. Какой конкретный вид должны
иметь граничные условия для функций и
на краях оболочки, т.е. при z=0 и z=1, предмет дальнейших
исследований. Вместе с тем, уже сейчас можно сказать, что концы оболочки (z=0, z=1) свободны от закреплений и это
очень усложняет проблему выбора функций (5).
Поэтому заранее в (4)
введем функции ω(z) Н.Ф.Кравчука, с помощью которых
можно удовлетворить любым граничным условиям.
Применительно к нашей
задаче, речь идет о функции типа
(6)
где m,n- целые числа.
Умножим первую
аппроксимацию в (4) на вторую- на
третью- на
где
-
некоторые целые числа.
Таким образом,
получаем новые аппроксимации:
(7)
(8)
(9)
где
(10)
Интегрирование дифференциальных уравнений (1). Подставим в
уравнения (1) аппроксимации вида:
(11)
(12)
Получаем:
(13)
.
Умножим (13) на
произвольную функцию и проинтегрируем в пределах от 0 до
1. Получим систему обычных дифференциальных уравнений для определения амплитудных коэффициентов:
(14)
здесь
(15)
Интегрирование дифференциальных уравнений (2) и (3).
Подставим в уравнения
(2) , (3) следующие аппроксимации:
(16)
(17)
Рассмотрим уравнение (2)
и с учетом (16) вычислим
входящие в него производные:
1
(18)
1
1
В
итоге получаем:
(19)
Умножим
(19) на функцию и проинтегрируем в пределах от 0 до 1 (по
координате z). Получаем
следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения
функций
,
,
:
(20)
Коэффициенты
этих уравнений определяются из формул:
(21)
Переходим
к уравнению (3) с учетом аппроксимаций (17). Проводя аналогичные вычисления,
получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для
определения функций
(22)
Коэффициенты
этих уравнений определяется из соотношений:
(23)
Можно получить иные системы обыкновенных дифференциальных уравнений для
определения амплитудных функций времени, которые будут входить в аппроксимации
решений дифференциальных уравнений в частных производных.