Карачун В.В., Мельник В.Н.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

аКУСТИЧЕСКИЙ ИМПЕДАНС ПОПЛАВКОВОГО ПОДВЕСА  

 

Продемонстрируем схему реализации метода Бубнова-Галеркина на уравнениях подвеса:

                             (1)

                                                   (2)

                                                   (3)

Для других уравнений все процедуры аналогичны.

Вначале аппроксимируем отыскиваемые функции в самом общем виде:

                                       (4)

В принятых аппроксимациях использованы такие значения:

                 (5)

- множества координатных функций в направлении координаты z, полные и независимые в интервале (0,1).

При использовании метода Бубнова-Галеркина, аппроксимации вида (3) предполагаются удовлетворяющими всем (кинематическим и силовым) граничным условиям при z=0, z=1. Какой конкретный вид должны иметь граничные условия для функций  и  на краях оболочки, т.е. при z=0 и z=1, предмет дальнейших исследований. Вместе с тем, уже сейчас можно сказать, что концы оболочки (z=0, z=1) свободны от закреплений и это очень усложняет проблему выбора функций (5).

Поэтому заранее в (4) введем функции ω(z) Н.Ф.Кравчука, с помощью которых можно удовлетворить любым граничным условиям.

Применительно к нашей задаче, речь идет о функции типа

                                                 (6)

где m,n- целые числа.

Умножим первую аппроксимацию в (4) на  вторую- на  третью- на  где - некоторые целые числа.

Таким образом, получаем новые аппроксимации:

                                               (7)

                                               (8)

                                     (9)

где

                           (10)

Интегрирование дифференциальных уравнений (1). Подставим в уравнения (1) аппроксимации вида:

                                      (11)

                                               (12)

Получаем:

     (13)

.

Умножим (13) на произвольную функцию  и проинтегрируем в пределах от 0 до 1. Получим систему обычных дифференциальных уравнений для определения амплитудных коэффициентов:

       (14)

здесь

                                   (15)

Интегрирование дифференциальных уравнений (2) и (3).

Подставим в уравнения (2) , (3) следующие аппроксимации:

                                (16)

                               (17)

Рассмотрим уравнение (2) и с учетом (16) вычислим входящие в него производные:

1                          

            

                    

                                                                                 (18)

                    

1                          

1                          

В итоге получаем:

                           (19)

Умножим (19) на функцию  и проинтегрируем в пределах от 0 до 1 (по координате z). Получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций , , :

   (20)

Коэффициенты этих уравнений определяются из формул:

                                               (21)

Переходим к уравнению (3) с учетом аппроксимаций (17). Проводя аналогичные вычисления, получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций   

(22)

Коэффициенты этих уравнений определяется из соотношений:

                                 (23)

Можно получить иные системы обыкновенных дифференциальных уравнений для определения амплитудных функций времени, которые будут входить в аппроксимации решений дифференциальных уравнений в частных производных.