М. П. Ленюк

 

Чернівецький факультет НТУ «ХПІ»

 

ПІДСУМОВУВАННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РЯДІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ФУР’Є – ЕЙЛЕРА – ЛЕЖАНДРА НА СЕГМЕНТІ  ПОЛЯРНОЇ ОСІ

 

Побудуємо обмежений на множині

розв’язок сепаратної системи з диференціальних рівнянь Фур’є, Ейлера та Лежандра для модифікованих функцій

                                                                        (1)

за крайовими мовами

                         ,                         (2)

та умовами спряження

                                 (3)

Умови на коефіцієнти:   

У рівності (1) беруть участь диференціальні оператори Фур’є  [1], Ейлера  [1], та Лежандра  [2]:   ; , .

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  складають функції  та   [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера  складають функції  та  [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра   складають узагальнені приєднані функції Лежандра першого роду  та другого роду   [2].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість побудувати розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом функцій Коші [1,3]:                                     

                         (4)

У рівностях (4) беруть участь функції Коші [1,3]:          

                (5)

Тут .

Припустимо, що функція Коші

Властивість (5) для визначення величин  дають алгебраїчну систему з двох рівнянь

Звідси отримуємо співвідношення:

                                  (6)

Рівності (6) доповнимо алгебраїчними рівняннями:

                    (7)

Алгебраїчна система (7) завдяки рівностям (6) набуває вигляду:

За правилами Крамера [4] знаходимо, що

Цим функція Коші  визначена і внаслідок симетрії відносно діагоналі  має структуру:

               (8)

У формулах (7), (8) беруть участь функції:

Нехай функція Коші

Згідно з властивостями (5) маємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

Звідси одержуємо співвідношення:

                                  (9)

Доповнимо рівності (9) алгебраїчними рівняннями:

                    (10)

Алгебраїчна система (10) в силу рівностей (9) набуває вигляду:

                          (11)

Згідно правил Крамера [4] маємо:

Цим функція Коші  визначена і внаслідок симетрії відносно діагоналі  має структуру:

               (12)

У рівностях (10), (12) беруть участь функції:

Припустимо, що функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

Звідси одержуємо співвідношення:

                                  (13)

Доповнимо рівності (13) алгебраїчними рівняннями:

                    (14)

Алгебраїчна система (14) внаслідок співвідношень (13) набуває вигляду:

Згідно правил Крамера [4] одержуємо, що

Цим функція Коші  визначена і внаслідок симетрії відносно діагоналі  має структуру:

               (13)

У формулах (14), (15) беруть участь функції:

 - гама функція Ейлера.

Повернемось до формул (4). Крайові умови (2) та умови спряження (3) для визначення величин  дають алгебраїчну систему із шести рівнянь:

           (16)    

У системі (16) беруть участь функції

.

та символ Кронекера [4].

Введемо до розгляду функції:

      Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної крайової задачі (1) - (3):  для будь-якого відмінного від нуля вектора   визначник алгебраїчної системи (16) відмінний від нуля:

           (17)                                   

Визначимо головні розв‘язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

                                     (18)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

                      (19)

   3) породжені неоднорідністю системи функції впливу

,

                        (20)

4) породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

                             (21)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (16) й підстановки одержаних значень та у формули (4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

               (22)

Побудуємо розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині  гібридним диференціальним оператором (ГДО)

       (23)

 - одинична функція Гевісайда [3].

Самоспряжений ГДО не має на множині  особливих точок. Тому спектр його дискретний. Цьому спектру відповідає дискретна спектральна функція (власна функція операторна  ).

Для знаходження власних елементів ГДО  (власних чисел та відповідних їм власних функцій) розглянемо спектральну задачу Штурма – Ліувілля: побудувати ненульовий розв’язок системи звичайних диференціальних рівнянь Фур’є, Ейлера та Лежандра

                             (24)

за однорідними крайовими умовами

       (25)

та однорідними умовами спряження

        (26)

Тут  - компоненти спектральної вектор-функції

 - спектральний параметр,

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  утворюють функції  та   [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера  утворюють функції  та  [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра  утворюють функції  та  [2]; .

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє написати:

                         ,

,                                       (27)

                              

Крайові умови (25) й умови спряження (26) для визначення шести величин  дають однорідну алгебраїчну систему із шести рівнянь.

               (28)

  У системі (28) беруть участь функції

     

  Алгебраїчна система (28) має ненульові розв’язки тоді і тільки тоді, коли  визначник системи рівний нулю [4]:

                (29)

У рівності (29) прийняті позначення:

  Корені  трансцендентного рівняння  утворюють дискретний спектр  ГДО [5]: дійсні, різні, симетричні відносно й на піввісі  складають монотонно зростаючу числову послідовність  з єдиною граничною точкою .

  Підставимо в систему (28)  й відкинемо останнє рівняння в силу лінійної залежності. Покладемо   - підлягає визначенню. Перше рівняння системи перетворюється в тотожність.

  Розглянемо алгебраїчну систему стосовно :

                             (30)

Визначник системи (20)

.

  Алгебраїчна система (30) має єдиний розв’язок [4]:

                                    (31)

Розглянемо алгебраїчну систему стосовно :

                                           (32)

  Визначник алгебраїчної системи (32)

Тут беруть участь величини:

Алгебраїчна система (32) має єдиний розв’язок:

             (33)

  Підставимо в рівність (27) визначені величини  згідно формул (31), (33). Отримаємо функції:

      (34)

Цим спектральна (власна) функція  визначена.

Введемо до розгляду вагову функцію

              (35)

й квадрат норми спектральної функції

 

                               (36)

Згідно з роботою [5] сформулюємо твердження.

     Теорема 1. (про власну функцію). Система  власних функцій ГДО  ортогональна на множині  з вагою , повна і замкнена.

     Теорема 2. (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-функція  з області визначення ГДО  зображається за системою  абсолютно й рівномірно збіжним на  рядом Фур’є:

                           (37)

Ряд Фур’є (37) визначає пряме  та обернене скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині   ГДО :

          ,                                              (38)

                                               (39)

      Визначимо величини та функції

      Теорема 3.  (про основну тотожність). Якщо вектор-функція                     

 неперервна на множині , а функції  задовiльняють крайові умови (2) та умови спряження (3) то справджуються основна тотожність СГІП ГДО :

                   (40)

      Формули (38), (39) та (40) утворюють математичний апарат, потрібний для розв’язання крайової задачі (1) – (3) методом СГІП.

Скористаємось відомою логічною схемою [5].

      Запишемо систему (1) в матричній формі:

                                          (41)

Оператор  згідно правила (38) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

                         (42)

Застосуємо до системи (41) за правилом множення матриць операторну матрицю-рядок (42). Внаслідок тотожності (40) маємо алгебраїчне рівняння

     (43)

Припустимо, що . Покладемо , ; .

Із рівняння (43)  знаходимо, що функція

                            (44)

Оператор  згідно правила (39) як обернений до (42) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

                                                 (45)                                                

      Застосувавши операторну матрицю-стовбець (45) за правилом множення матриць до матриці-елемента , де функція  визначена формулою (44), маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

     (46)

      Порівнюючи розв’язки (22) та (46) в силу єдиності, приходимо до низки формул підсумовування функціональних рядів за власними елементами ГДО :

                 (47)

                 (48)

                             (49)

                             (50)

                             (51)

Функції впливу  визначені формулами (20), функції Гріна  умов спряження визначені формулами (19), функції Гріна визначені формулами (21).

          Зауваження 1: Якщо , то  і вираз  заміниться на . Якщо  то  і замість  буде всюди .

          Зауваження 2: Праві частини формул (47) – (51) не залежать від нерівностей .Тому при необхідності можна покласти .

          Висновком проведеного в роботі дослідження є твердження.

Основна теорема: Якщо вектор-функція  задовільняє умови теореми про основну тотожність і виконується умова (17) однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3), то мають місце формули (47) – (51)підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (23).

 

 

Література:

      1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.:Физматгиз, 1959. – 468с.

      2. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера – Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

      3.  Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965. – 328с.

      6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1971. – 432с

      7. Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228 с.