Технические науки / 4. Транспорт

 

К.т.н., Айтбаев К.

АО «Казахстанский дорожный научно-исследовательский
институт», Республика Казахстан

 

К постановке задачи о напряженно-деформированном состоянии

дорожной конструкции с подземным теплопроводом

 

По сложившейся традиции, в больших городах теплоснабжение осуществляется подземным способом, и теплопроводы, как правило,  заложены непосредственно под проезжей частью. Ремонт таких теплосетей сопряжены с известными затруднениями при эксплуатации городских дорог, так как приводит   вскрытию дорожной одежды.

Автомобильные дороги, под которыми проложен теплопровод, чаще выходят из строя из-за появления в них деформаций в виде сквозных продольных трещин, параллельных направлению подземного теплопровода и просадок дорожного покрытия над ним. Как известно, одна из причин этому явлению имеет механическую природу. Наличие подземного, жесткого железобетонного коллектора в грунтовой среде вызывает повышенную концентрацию напряжений вокруг угловых точек железобетонного коллектора [1]. Другая, возможно наиболее существенная, причина  повышенной податливости дорожной конструкции с подземным теплопроводом может заключаться в особенностях температурного поля, формируемого вокруг подземного теплопровода. Появление зон,  в которых температура не опускается ниже нулевой отметки в течение всего года, может изменить влажностный режим грунта под дорожной одеждой, что, в конечном счете, приведет к ослаблению основания, подстилающего дорожную одежду.

Построение математической модели многослойной дорожной конструкции с подземным теплопроводом предполагает полноты информации о теплофизических и физико-механических  свойствах слагающих частей рассматриваемой конструкции. Однако, для упрощения процесса выявления напряженно-деформированного состояния дорожной конструкции, ограничимся учетом лишь упругих деформаций.

Теплопровод представляет собой пару стальных труб, заключенных в железобетонные коллекторы прямоугольного поперечного сечения. По одной из труб подается горячая вода потребителю, которая, после использования, возвращается по другой трубе в центр теплоснабжения.

Для построения механической модели важны лишь деформационные характеристики спаренных железобетонных коллекторов, поэтому будем пренебрегать наличием в них труб водовода (рисунок 1).

 

Рисунок 1. Условные обозначения: I – двухслойный асфальтобетон,   II – щебень из твердых пород, III – гравийно-песчаная смесь, IV – грунт естественного залегания, суглинок легкий, Tv – температура наружного воздуха,   Th – температура грунта на глубине h м,  Tk1 и  Tk2 – температура воздуха внутри коллекторов.

 

Определение напряженно-деформированного состояния предполагает решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в частных производных совместно с граничными условиями. Однако, для такой сложной области, каковой является многослойная дорожная конструкция с подземными пустотами, получение аналитического решения представляет собой сложную математическую задачу.

Наиболее приемлемым путем является численное решение задачи. Для этого нужно построить функционал, определяемый полем перемещений в исследуемой области. Функция перемещений, предоставляющая минимум данному функционалу и есть решение вышеупомянутого дифференциального уравнения. Минимизация функционала на искомом решении будет осуществляться методом конечных элементов.

В работе [2] приводится алгоритм решения задачи по определению напряженно-деформированного состояния в сплошном теле. Согласно этому алгоритму в качестве функционала берется полная потенциальная энергия деформации, накапливаемая сплошным телом к моменту наступления стационарного состояния процесса деформирования.

Полная потенциальная энергия деформации вычисляется по формуле:

 

                                              ,                                                   (1)

где  - энергия деформации, а  - работавнешних сил [2].

         После разбиения исследуемой области на конечные элементы выражение (1) запишется так:

                                  ,

где  - полная потенциальная энергия -го элемента.

Энергия деформации бесконечно малого обьема  тела вычисляется по формуле [3]

                                           .       

Здесь  - полная деформация;  - начальная деформация. Величина   называется плотностью энергии деформации. Полная энергия деформации тела определяется путем интегрирования этой величины по всему обьему тела:                                             

                                         .                                     (2)

Вид векторных величин  и  определяется типом рассматриваемой задачи. Например, для двухмерной задачи        

                                               

и

                                               .

         В методе конечных элементов закон Гука в общем случае запишется так:                                

                                              .                                            (3)

Здесь матрица  определяется упругими характеристиками материалов тела.  А соотношения, связывающие деформаций с перемещениями:

                                ,      ,     ,

                   ,     ,     .                            (4)

определяются через значения узловых перемещений следующим образом:

                                                      ,                                                     (5)

где -так называемая функция формы [2], определяемая координатами узлов конечного элемента и зависящая от текущих координат точки. Здесь  и  компоненты перемещения точки в направлении координатных осей  и .

         Выразим вектор деформации  через перемещения узлов  с помощью соотношений (4):

                                                .                                                           (6)

Здесь матрица  определяется путем дифференцирования матрицы  согласно соотношениям (3).

         Энергия деформации отдельного элемента  будет вычисляться  с помощью формул (2) и (6):

          .                                      (7)

Но, последние два слагаемых в полученном выражении не будут учитываться при применении формулы (7), так как в задаче не будет рассматриваться начальная деформация.

         Работу внешних сил можно разделить на три части: работа сосредоточенных сил , работа компонентов напряжений, действующих на внешних поверхностях исследуемой области , и работа обьемных сил .

         В рассматриваемой задаче, вектор внешних сил, согласно вышеупомянутому алгоритму [2] будет вычисляться по формуле:

                                     ,                                   (8)

где первая слагаемая соответстувует весу треугольных конечных элементов, а вторая – сосредоточенным силам, действующим в узловых точках.

  Тогда полная потенциальная энергия рассматриваемого сплошного тела будет вычисляться по формуле:

.   (9)

Для минимизации полной потенциальной энергии нужно дифференцировать выражение (8) по , и результат приравнять нулю:

            .             (10)

Интегралы в последнем выражении определяют вектор нагрузки  и матрицу жесткости  элемента.

В таком случае, выражение (9) сокращенно можно записать в виде:                                    

                             .                                          (11)

                                  

Здесь матрица жесткости элемента  вычисляется с помощью следующего обьемного интеграла:

                                          ,                                      (12)

а вектор узловой нагрузки элемента  – по формуле (8).  

         Матрица упругости в матрице жесткости (11) для случае плоского напряженного состояния будет вычисляться по формуле:

                                          ,                                       (13)

где  модуль упругости, а  коэффициент Пуассона материала элемента.

         Если условие минимума полной потенциальной энергии системы записать в матричной форме, то получим систему линейных алгебраических уравнений равновесия, записанную через обобщенную матрицу жесткости  и вектор-столбец  узловых нагрузок:

 

                                                      .                                                 (14)

 

Здесь

 

                                                                                                        (15)

 

и

 

                                                    .                                               (16)

 

 

Литература

 

1. Айтбаев К.А., Устойчивость грунтов вокруг комплекса городских коммуникационных сооружений. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Алматы: КазАТК и ИММаш МНВО РК,1999. - 133 с.

2. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М: Мир, 1979. – 392 с.