Физика/1. Теоретическая физика

                                                      Магеррамов М. А.

Азербайджанский Государственный Экономический Университет

Уравнения  и  модели, описывающие теплопроводность плодоовощных соков

 

В данной работе нами исследована теплопроводность ряда фруктовых соков. Исследованный диапазон параметров состояния составил: для температуры (Т)- 278.1 – 393.1 К, для массовой доли сухих веществ (С)-  от натурального до 60%;

Исследования при температуре выше точки кипения при нормальном давлении проводились при повышенном давлении в системе 2 МПа.

Анализ полученных экспериментальных данных показал, что темпе-ратурная зависимость λ в исследованном интервале не является линейной, и описать эту зависимость можно полиномом второй степени. Концентра-ционная зависимость близка к линейной, однако в точности не является таковой.

Для температурной зависимости теплопроводности на примере гра-натового сока получены следующие выражения:

С=16%,                                   (1)

С=46%,                                (2)

Для точного описания опытных данных нами разработана матема-тическая модель, основанная на квадратичном представлении зависимос-тей теплопроводности от температуры и концентрации:

,                                                      (3)

где:   λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(К∙м); Т – температура, °С;

x – концентрация сухих веществ,%; aij – эмпирические коэффициенты;                                

 или в раскрытом виде:

,                                               (4)

где концентрационная зависимость параметров a0(x), a1(x) и a2(x) может быть представлена в виде:

; ;                               (5)    

           Как видим, уравнение содержит 9 регулируемых параметров. Уменьшение коэффициентов существенно облегчает процедуру расчетов, в особенности это необходимо в практических приложениях. С этой целью был проведен дополнительный анализ с выяснением границ потерь точности при описании уравнением опытных данных в случае применения линейной функ-ции для теплопроводности. С достаточной для практики точностью модель может быть представлена в виде:

,                                                    (6)

где:   λ – коэффициент теплопроводности, Вт/(К∙м), Т – температура, °К,

x – концентрация сухих веществ,%, aij – эмпирические коэффициенты.

Поскольку зависимость коэффициента теплопроводности была опи-сана прямолинейной функцией, можно без существенной погрешности экс-траполировать λ=f(с) на нулевую концентрацию. Сравнение температурной зависимости полученных при такой процедуре величин λ0 с данными по чистой воде может представлять определенный интерес.

Анализ данных показывает что, величины λ0 меньше теплопровод-ности воды в среднем на 2- 4%. Температурная зависимость λ0 практически аналогична линии  λ=f(Т)  для воды. Это косвенно может служить подт-верждением надежности опытных данных.

По результатам измерений теплопроводности мандарина предложено следующее уравнение в виде:

λ=0.496-3.1×10-3c+3.835×10-3T-3.61×

    ×10-5cT-1.758×10-5T2+2.459×10-7cT2                                         (7)

Уравнение описывает опытные данные с погрешностью не более ±1.5- 2%.

В литературе известна модель, предложенная Лосинским (Losenicky (1969)), в основе которой лежит представление коэффициента теплопро-водности раствора или смеси посредством величины теплопроводности чистого растворителя. Т.е., уравнение описывает, по сути, отклонение теплопроводности смеси (раствора) от чистого растворителя. В нашем слу-чае, основным компонентом соков как очевидно, является вода. Исходя из этого, мы использовали данные о чистой воде в качестве слагаемого, от-ветственного за растворитель.

Модель разрабатывалась для сливового, малинового, вишневого и персикового соков. Аналитический вид модели для малинового и вишневого соков представлен ниже:

малиновый сок:                                    (8)

вишневый сок:                                      (9)

Среди немногочисленных данных о теплопроводности фруктовых соков встречающихся в литературе, нами обнаружены в частности сведения о виноградном соке.

Анализ полученных данных для виноградного сока показывает, что температурная зависимость коэффициента теплопроводности приближается к линейной при увеличении содержания сухих веществ. Концентрационная зависимость λ близка к линейной, что позволяет экстраполировать ее в область высокого содержания сухого вещества.

Уравнение для коэффициента теплопроводности виноградного сока имеет вид:              λ=0.567-3.447×10-3 + 9.094×10-4t-3.864×10-6ct             (10)

Уравнение описывает опытные данные со среднеквадратичной погрешностью не более 2%.

Для яблочного сока нами предлагается следующее уравнение для описания теплопроводности:

,                         (11)

 

которое описывает опытные данные с погрешностью не более 2%.

Гинзбург А. С. и др. (1980) предложили уравнение, устанавливающее функциональную связь между теплопроводностью, плотностью и теплоемкостью:       ,             (12);     где    

Здесь: АТ – инвариант, cT – удельная теплоемкость, αT – коэффициент, характеризующий степень ассоциации, M – молекулярная масса.

В основе этого уравнения лежит формула, предложенная Предводи-телевым. Уравнение позволяет рассчитать коэффициент теплопроводности, если известна теплоемкость и плотность. Вместе с тем в формулу входят параметры, определение которых связано с определенными трудностями и вносит дополнительную погрешность.

В данной работе мы поставили цель определить аналитические зависимости, которые позволили бы проводить экстраполяцию экспери-ментальных данных на более высокие параметры состояния, а также уста-новить простую связь между теплопроводностью и плотностью. В отличие от уравнения (12), это уравнение не требовало бы наличия величины теплоемкости. Если данные о плотности различных фруктовых соков в литературе встречаются, то сведения о теплоемкости, как правило, крайне редки.

Представляет интерес выявить зависимость теплопроводности от плотности при фиксированной температуре, т.е. при различных концентра-циях сухого вещества, и при фиксированной концентрации, когда на полу-ченной зависимости отражалось бы влияние температуры.

На основании полученных опытных величин нами предложено уравнение, устанавливающее связь двух исследуемых свойств между собой и от температуры в аналитическом виде:

                                                                                            (13)

 

где: λ-теплопроводность, Вт/(м∙К), ρ – плотность, г/см3, T -температура, К,

A – параметр.

Уравнение (13), имеющее простой вид, с высокой точностью передает опытные значения теплопроводности. Как будет меняться параметр А в зависимости от типа сока – предмет дальнейших исследований.

Преимущества этого уравнения связаны с отсутствием необходимости располагать данными о теплоемкости, а также в том, что оно в явном виде содержит зависимость от температуры.

Нам представляется важным разработка моделей описывающих теплопроводность как функцию других теплофизических свойств, в част-ности температуропроводности, вязкости и др. При наличии информации о последних, имелась бы возможность прогнозирования данных о тепло-проводности различных соков.

Нами предпринята попытка создания модели, связывающей тепло-проводность и температуропроводность. Графоаналитический анализ опытных данных о теплопроводности и температуропроводности апельси-нового сока показал, что имеется практически близкая к линейной связь этих свойств.

Уравнения, устанавливающие связь теплопроводности и темпера-туропроводности для апельсинового сока имеют вид:

С=14%, , R2=0.991;     С=40%, , R2=0.996       (14)

Уравнения корреляции теплопроводности с температуропроводностью для гранатового сока

С=20%, , R2=0.996;  С=50%, , R2=0.996(15)

Не меньший интерес представляет установление корреляции между вязкостью и теплопроводностью. В литературе имеется немало сведений о вязкости, и наличие модели, связывающей эти два свойства, могло бы пос-лужить существенным облегчением при разработке и проектировании новых промышленных установок по переработке плодово-ягодных культур. 

Модель разрабатывалась на основе экспериментальных данных о теплопроводности и вязкости сливового сока.

Уравнение, описывающее корреляцию вязкости и теплопроводности:

                                                (16)

Для сливового сока определены следующие коэффициенты:

С=13%, λ=6.466×10-1-1.157×10-1η+3.28×10-2η2, R2=0.999                (17)

С=38%, λ=5.252×10-1-3.10×10-2η+3.0×10-3η2, R2=0.986                     (18)

На основе графоаналитических анализов предпринята попытка разработки модели для корреляции теплопроводности и текучести.

В результате получено уравнение, устанавливающее связь между теплопроводностью и текучестью для абрикосового сока:

                                                (19)

Для сока с 25% содержанием:

λ=4.619×10-1+9.64×10-2f-2.31×10-2f2, R2=0.992                                 (20)

Для сока с 40% содержанием:

λ=4.225×10-1+2.079×10-1f-6.59×10-2f2, R2=0.990                               (21)

Обобщенное уравнение, не зависящее от концентрации для абрикосо-вого сока может быть записано в виде:

,                                         (22)

Теплопроводность плодоовощных соков ведет себя в зависимости от температуры подобно воде, вследствие чего выбор математического выраже-ния для температурного ряда не представляло сложности. Мы ограничились квадратичным представлением функции λ=f(Т). Всесторонний анализ полу-ченных данных позволяет рекомендовать в качестве универсальной модели для описания коэффициента теплопроводности выражение вида (3). Данная модель с высокой точностью передает изменения теплопроводности с температурой и концентрацией, и погрешность не превышает экспериментальную. Модель применима для широкого интервала концентраций и температур.

В случае если концентрационный интервал не столь широк, в частности до 30-40%, возможно использование модели (6) со всего лишь 6 эмпирическими коэффициентами.

В литературе часто делались попытки связать теплопроводность и плотность жидкости, и указывалось на их тесную связь. Модель (13), разработанная в рамках данной работы, имеет простой вид и позволяет проводить расчет теплопроводности при изменении температуры. Явное преимущество данной модели в наличии явной температурной зависимости, что однозначно соотносит рассчитанную величину теплопроводности к конкретной температуре.

Разработанные модели, устанавливающие корреляции теплопровод-ности с температуропроводностью (14,15), с вязкостью (16), с текучестью (19) позволяют проводить расчет теплопроводности при известных вели-чинах указанных свойств. Как показал анализ, теплопроводность и темпе-ратуропроводность имеют линейную корреляцию. Использование же линейной функции для выражения связи теплопроводности с вязкостью или текучестью приводит к существенным погрешностям. Вследствие этого использовали полином второй степени (16) и (19). Каждая модель с достаточной точностью связывает отмеченные свойства.