Існування розв’язків задачі трансмісіі тонкої пружної балки с в’язкопружною частиною Тимошенка та пружною частиною Кірхгофа.

Я. Бровко

ХНАДУ, вул. Петровського 25, 61002 Харків, Україна

 

Досліджується питання про існування розв’язків лінійної задачі трансмісії пружної балки Кірхгофа і в’язкопружної балки Тимошенка з нескінченним спадковим  демпфуванням. Нехай тонка балка, коли знаходиться у стані рівноваги, займає інтервал . Частина матеріалу балки, що знаходиться в інтервалі , де , має властивості Кірхгофа, тобто деформація поперечного зсуву дуже мала. Частина балки, що знаходиться в інтервалі , підпорядкована закону Тимошенка (див. [3]). Нехай ,  та . Розглядається система інтегро-диференціальних рівнянь

                                   (1)

                                                                (2)

                                                                      (3)

                                                                           (4)

з граничними умовами

                                                    (5)

та

                   (6)

а також початковими умовами.     

Параметри  є додатними константами. Інтегральне ядро  має властивості:

(K1)

(K2) для будь-якого  

(K3)            існує  така, що для будь-якого  

                                                 

Така система описує задачу трансмісії пружних балок Тимошенка і Кірхгофа. Невідомі змінні  та  позначають вертикальне зміщення і кут повороту поперечного перетину балки Тимошенка,  - штучно введена змінна, яка описує залежність змінної  від попередніх станів (см. [1]) , - вертикальне зміщення балки Кірхгофа. Головною ціллю даної роботи є дослідження існування розв’язків математичної моделі задачі.

Введемо позначення ,

  та

Визначимо гільбертові простори

                         

                  

де . Нехай

Визначимо оператор   

                                                     

з областю визначення

                           

Визначимо обмежений оператор

                                                

проектор

                                                    

та оператор

                                                      

Визначимо також оператор сліду на  

                                                      

та оператор

                                                    

Визначимо еліптичний оператор  наступним чином:

                               

Система (1)-(6) може бути записана у вигляді

                                                                                              (10)

                                                                  (11)

де

                                                  

та

                               

Розглянемо оператор  в фазовому просторі  

                        

з областю визначення

                   

Спираючись на [2] отримуємо результат про коректну розв’язність задачі (1) - (6):

Tеорема 1. Нехай функція  задовольняє умовам (K1)-(K3). Тоді оператор  є генератором стискаючої  - напівгрупи у просторі .  Тобто, існує слабкий розв’язок задачі (1) - (6) на будь-якому відрізку  - функція , що  задовольняє початковим умовам та співвідношенню

Література.

 [1]  Dafermos C. M. Asymptotic stability in viscoelasticity // Arch. Rational Mech. Anal. – 1970. – Vol. 37. –  297-308.

 [2]  T. Fastovska On the exponential stability of Kirchhof-Timoshenko transmission problems.// Preprint.

 [3]  Lagnese J. Boundary stabilization of thing plates.-Philadelphia: SIAM, 1989. – 176 pp.