УДК 621.311 ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКА

Г.Т. ГНУНИ

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА ГИДРОТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

В задачах линейного программирования (ЛП) практическое значение имеют методы, позволяющие системным образом проанализировать и четко уяснить взаимосвязи между всеми факторами, учитываемыми при решении той или иной практической задачи [1, 2].

На многие вопросы, связанные с анализом на чувствительность, легко ответить, располагая численными данными на заключительной стадии симплекс-итерации. Однако эти подходы носят узкий характер, т. е. рассматривают частные случаи анализа на чувствительность задач ЛП.

В теории ЛП существует понятие двойственности, которое позволяет унифицированным образом устанавливать взаимосвязи между всеми приемами и методами анализа задачи на чувствительность [1, 2].

Целью данной работы является анализ на чувствительность решения задачи оптимизации режимов гидроэнергетической системы, основанной на принципе двойственности линейных оптимизационных моделей.

Рассмотрим задачу на примере гидротехнической системы, представленной на рис. 1 [3].

водохранилище

БСР

x₁

∆t₁

y₁

x₂

∆t₂

y₂

I

II

x₁

Q₁

Q₂

Q₃

Рис. 1. Схематическое изображение гидротехнической системы

На рис. 1 приняты следующие условные обозначения:

I, II – гидроэлектростанция; БСР – бассейн суточного регулирования; x₁, y₁ – расходы воды в начале и конце первого деривационного канала (м³/с); x₂, y₂– расходы воды в начале и конце второго деривационного канала (м³/с); ∆t₁, ∆t₂–время запаздывания в деривационных каналах (час); Q₁, Q₂– попуски воды на ирригацию (м³/с); Q₃ – приток воды в БСР (м³/с).

Для БСР примем следующие обозначения: V_min, V_max – максимальные и минимальные объемы БСР (м³); V – текущий объем воды БСР (м³).

Рассмотрим две следующие задачи ЛП:

(1)

(2)

(3)

и

(4)

(5)

Для определенности условно назовем первую задачу (1)-(3) исходной, а вторую задачу (4)-(5) - двойственной (по отношению к первой). Отметим, что исходная задача представлена в канонической форме, а двойственная задача не имеет ограничений в виде знака переменных.

Согласно теореме о двойственности, если исходная и ее двойственная задачи имеют допустимые решения, то существуют оптимальные решения исходной и двойственной задачи, для которых справедливо соотношение [1, 2]

Оптимальные значения переменных двойственной задачи часто называют скрытыми доходами.

Рассмотрим влияние правых частей ограничений (2) на решение исходной задачи.

Известно [1, 2], что оптимальные значения переменных в решении двойственной задачи ЛП представляют собой оценки влияния свободных членов системы ограничений прямой задачи на оптимальное значение целевой функции при условии, что рассматриваемый базис остается допустимым.

Исходя из вышеприведенного свойства двойственной задачи, для приведенной на рис. 1 гидроэнергетической системы проведем анализ чувствительности решения прямой задачи. Сначала составим математическую модель прямой и двойственной задач, принимая

В качестве целевой функции прямой задачи рассмотрим объем воды, обходящей ГЭС

,

(6)

где - расход воды на входе ГЭС; - выработки активной мощности; - угловые коэффициенты расходной характеристики ГЭС.

Ограничения в виде равенств

(7)

Ограничения в виде неравенств

(8)

Представим прямую задачу в канонической форме, вводя дополнительные искомые для преобразования ограничений в виде неравенств в равенства.

Для прямой задачи имеем:

- вектор искомых

- вектор коэффициентов целевой функции

- вектор правых частей ограничений

Матрица коэффициентов ограничений примет следующий вид:

Прямая задача в матричной форме записи примет вид:

(9)

Двойственная к (9) задача в матричной форме записи примет вид:

(10)

где - искомый вектор двойственной задачи.

Из структуры матрицы A и вектора C следует:

а переменные могут иметь любой знак.

Это означает, что увеличение однозначно не ухудшает значение целевой функции прямой задачи.

Увеличение величин улучшает значение целевой функции прямой задачи лишь тогда, когда соответствующие переменные двойственной задачи отрицательны.

Приведем численный пример решения прямой и двойственной задач, а также анализ чувствительности, для приведенной на рис. 1 модели.

Для значений параметров Q₁=4м³/с; Q₂=4м³/с; Q₃=10м³/с; V₀=15м³; x_1max=5м³/с; y_1max=1м³/с; x_2max=10м³/с; y_2max=6м³/с; V_max=15м³; k₁=1МВт/м³/с; k₂=2МВт/м³/с; P_1max=4МВт; P_2max=7МВт прямая задача (6) - (7) примет вид:

.

Для прямой задачи получаем:

- вектор искомых

- вектор коэффициентов целевой функции

- вектор правых частей ограничений

Матрица коэффициентов ограничений примет следующий вид:

Оптимальное решение прямой задачи ЛП: x₁=4м³/с; y₁=0м³/с; x₂=10м³/с; y₂=6м³/с; V=15м³; P₁=4МВт; P₂=7МВт; d₁=1, d₂=1; d₃=0; d₄=0; d₅=0; d₆=0; d₇=13; d₈=0; d₉=0, V_с=6.5 м³.

Перейдем к решению двойственной задачи. В этом случае целевая функция и ее ограничения принимают вид (10).

Аналогичным образом производя расчеты для двойственной задачи ЛП, получаем оптимальное решение, при котором: z₁=0; z₂=0; z₃=1; z₄=0; z₅=0; z₆=0; z₇=0; z₈=-1; z₉=-1; z₁₀=0; z₁₁=0; z₁₂=-0.5.

Из решения двойственной задачи ясно, что уменьшая значения Q₃+V₀ (соответствующее z₃), или увеличивая значения V_max (соответствующее z₈), или же увеличивая значения P_2max (соответствующее z₁₂) можно уменьшить значение целевой функции.

Выводы

1. Для гидротехнической системы, состоящей из двух ГЭС, составлены прямая и двойственная задачи и произведен анализ чувствительности решения прямой задачи по результатам решения двойственной задачи.

2. Вышеприведенный анализ чувствительности реализован в виде численного примера в котором целевой функцией является объем водосброса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вагнер Г. Основы исследования операций. – М.: Мир, 1972. – 336с.

2. Хемди А. Таха Введение в исследование операций. – М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. – 912 с.

3. Сафаряан В.С., Манасян В.Ш. Оптимизация режимов гидротехнической системы // ВЕСТНИК ИАА. – 2008. – Т.5, №4. – с. 557-560.