Р.Ж.Наметкулова, А.К.Кадиримбетова, А.Абдувалов

Таразский государственный университет имени М.Х.Дулати, Казахстан

 

О ВЫЧИСЛЕНИИ УСТОЙЧИВОГО НАИМЕНЬШЕГО КВАДРАТИЧНОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ  ФОТОМЕТРИИ

 

Введение.  Внешняя обратная задача потенциала Кеплера для областей с единичной плотностью   сводится к решению нелинейных интегральных уравнений первого рода вида

                                                     ,                                                     (1)

где  - непрерывная периодическая функция  с периодом  , описывающая известный потенциал  на окружности наблюдения  с   радиусом ,                                                                                                                                      - неизвестная непрерывная периодическая функция с периодом ,  которая описывает форму искомой области. Функции  и рассматриваются как элементы функции  и , они состоят из множества всех вещественнозначных  дважды дифференцируемых функции , определенных на отрезке  и удовлетворяющих периодическим условиям . В обоих пространствах норма элемента  определяется при помощи

                          .                                                                  (2)

Вспомогательная норма  определяется при помощи

                                              ,

где  и  являются положительными постоянными, связанными с пространством . Оператор  является непрерывным линейным отображением . Трудности в решении (1) заключаются  не только в нелинейности, но и в несуществовании  обратного оператора , который  даже и при существовании часто является неограниченным.

  Обратная задача потенциала в действительности принадлежит классу некорректных задач .  Несуществование оператора   влечет то, что, либо для некоторых элементов  уравнение (1) не имеет решения, либо решение не является единственным.

  Неограниченность   (когда она существует) ведет к «неустойчивости»  решения,  т.е. малое возмущение вариации нормы  может соответствовать большим возмущениям нормы .

  На плоскости потенциал Кеплера [2] может быть выражен в форме

         ,                                                                

где   - полином Лежандра  - го порядка.

  Для задачи, где единственность решения фиксирована, а существование и устойчивость не фиксирована,  Тихонов предложил построить «регуляризованное»  решение.

  В этой работе мы рассмотрим некоторые вычислительные аспекты применения метода Тихонова к  обратным задачам  потенциала Кеплера.

 Постановка задачи. Для обратных задач потенциала Кеплера операторное уравнение   имеет  форму:

                       (3)

где . Предположим, что - известная функция с определенной  степенью точности, т.е. вместо  будет ,   .  Обратная задача теории потенциалов  встречается в геофизике, астрофизике и фотометрии, где  может быть вполне незначительной, поэтому  ее влиянием пренебрегают. 

  Далее по методу Тихонова [3], мы ищем алгоритм для вычисления приближенного решения (3), так что это решение непрерывно зависит (по норме) от  и метод заключается в минимизации функционала

             ,                      (4)

где  - параметр регуляризации.

  Тихонов доказал, что для  существует единственная функция , которая минимизирует функционал . Для точно выбранных   решение вариационной задачи становится устойчивым, т.е. для  , так,  что если

               , то , для всех ,

где  и  - минимизированные функции соответственно  и .

            Функционал минимизируется с помощью вариационного исчисления. Вариация   на , где - любая  периодическая функция и  - малый параметр:

Тогда .

Так как это уравнение фиксировано для всех , что  может удовлетворять интегральное уравнение

             ,                          (5)

где граничный член появляется из интегрирования по частям, член  исчезает на основе периодичности  и . Введенные индексы  указывают на то, что решение  нелинейного интегрального уравнения (5) заключается в том, что «наименьшие квадраты» аппроксимируют решение (1), которое связано с параметром регуляризации  и параметром погрешности .

  Для того чтобы получить решение (5) мы дискретизируем функции.  Сначала  мы запишем (5):   для функции  заданный интервал разобьем на  одинаковые интервалы   , где  и . Обозначая  при помощи  и введя обычное второе приращение аппроксимации , мы получим

  .    (6)

Член  может быть выражен численно (здесь мы пользуемся правилом Симпсона для всех численных интегралов) и содержать все .

  Для того чтобы выполнить интегрирование под , мы также дискретизируем это значение, допуская, что . Это сводится к выборочному заданию потенциала  этих  точек. В полученном уравнении (6) интегралы будут действительными суммами при дискретизированных переменных. Уравнение (6) будет  являться системой нелинейных алгебраических уравнений с неизвестными .

Для выражения   применим формулу Симпсона и получим:

,

где  и , где  и . Вводим следующее обозначение:                .

Все полученные формулы подставляем в (6) и получим:

В последнем выражении для вычисления интеграла используем формулу Симпсона и в результате получим:

Мы решим  эту систему при  помощи стандартного итеративного метода Ньютона.

   В частности допустим, что

                                         ,

являющиеся  - мерной аппроксимацией векторного решения,  - является результатом подстановки  в левую часть (6),   - якобиан матрицы системы (6), выражающий . Тогда   - итерация дается при помощи

                                          .

Явная формула для элемента  получается легко. Здесь мы используем стандартный метод перестановки матрицы .

Оценка погрешности. Решение  в (6) зависит от выбора параметра регуляризации и постоянных  и . Если обратный оператор является неограниченным, как было отмечено ранее выбор  является несущественным. С другой стороны,  может быть также близко к   насколько это возможно по норме,  и это исключает большие значения . Верхняя граница  может быть получена следующим способом.

  Пусть  является регулярным оператором, который отображает данный элемент  в элемент   при помощи (5). Пусть . Пусть  и  являются потенциалами соответственно   и , т.е. пусть , . 

Так как  минимизирует функционалы ,

                          или

                          .

Так как , то

                .                                                       (7)

Следовательно                                                         (8)

Из неравенства треугольника для нормы следует:

                        .                       (9)

Уравнение (9) дает приблизительную верхнюю грань на эффективную погрешность в , вызванную при замене   ее регулярной аппроксимацией . Для случая  из (7) следует, что

                                 .                                                             (10)

Следовательно,  сходится к  по норме при . С другой стороны из (7) видно, что

                              .                                                           (11)

Таким образом, норма  от  является ограниченной сверху положительной величиной.

Пусть    является компактным множеством всех элементов , которые удовлетворяют (11) и   является образом отображения .

  Впредь отображения являются взаимно однозначными и непрерывными, обратные отображения  также являются непрерывными. Следовательно,  так, что  если

                                    , тогда  .

Для особых случаев, когда  и  интегральное уравнение (5) для  и  пишется в таком виде:

                            ,

когда

                           .

Пусть  является максимальным значением . Подставляя его в нижние два уравнения и беря нормы (8) и (10),  учитывая в этом случае ,  мы находим, что            (12)

Неравенство (12) выражает  верхнюю грань на  для данных  и , т.е. он выражает меру влияния погрешности в  на регулярное решение.

        Для нахождения верхней грани     для данных граней   на   учитывая (5) для особого случая  ,  ,  получим:

.

Заметим,  здесь предполагается, что решение (1) существует. Возьмем норму с обеих сторон и получим:

                                          ,

где .

С помощью теоремы о средних значениях для интегралов получим:  

                     ,

где  , следовательно .

 

Поэтому 

                              ,                                                     (13)

где  .

Запись этого результата также требует выпуклости , к которому может быть применена теорема о среднем значении. Применение (13) к полученным значениям параметра регулярности требует приблизительной априорной оценки нормы , а также оценки погрешности, введенной при помощи регуляризации. В вычислительной работе  может включать также влияние дискретизации и округление погрешности, т.е. мы рассматриваем , являющийся разностью между верным решением  и вычисленным решением (5). Окончательно мы можем суммировать влияние регуляризации и ошибки в ,  и получить границу на . Из неравенства треугольников следует, что

.

Отсюда следует, что 

                            .                      (14)

В заключении мы видим, что неравенство (13) включает наибольшие значения параметра регуляризации  по необходимости связанные с большими значениями погрешности , хотя неравенство (14) показывает, что и малое  может являться  ошибочным. Следовательно, выбор  в общем виде является  критическим в вычислении разумных аппроксимации на .

 

Литература

 

1.       Serikbaev A.  About one inverse problem of potential of simple puff for the break surface // Тезисы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Алматы, 2001, стр. 1.

2.       Наметкулова Р.Ж.  Обратная задача потенциала Кеплера  «в малом» // Механика и моделирование процессов технологии. Тараз, 2007, №1, стр. 31-41

3.    Тихонов А.Н. О некорректно поставленных задачах // Сб. работ ВЦ МГУ «Вычислительные методы и программирование» Вып.VIII,Изд-во МГУ, 1967.-С.3-33.