к.т.н. Бондаренко Л. Н., ст. преп. Посмитюха А.П., студ. Аблязов Р.

Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта имени академика В Лазаряна

Анализ сопротивлений качению по выгнутой и вогнутой поверхности.

Постановка проблемы. Отметим, что в середине 80-х годов прошлого столетия годовое экономические потери в США от трения, износа и разрушения контактирующих элементов машин и иного оборудования оценивались суммой в 50 млрд. долларов [1]. Если учесть долю США в мировой экономике, то эта цифра позволяет предположить, что каждый житель планеты ежедневно расходует около 2,5 центов.

С учетом того, что значительная часть указанных потерь приходится на преодолении сопротивления качению, то уменьшение последних на транспорте, машинах и механизмах является актуальной задачей.

К сожалению, как отмечает академик К. В. Фролов, между материаловедами и инженерами имеется совершенно необоснованное разделение труда. Материаловед, интересуясь, в основном, свойствами материалов, редко соотносит их с конкретными машинами. В свою очередь, инженер, обходясь достаточно скудным сведениями, приводимыми в справочниках и не помышляющий о том, чтобы полноправно участвовать в процессе создания конструкционных материалов, «Однако, когда-нибудь научно-технический прогресс позволит каждой конструкции предложить свой, соответствующий ей наилучшим образом материал [2].

Естественно, что при разработке узлов трения качения машин необходимо иметь такие аналитические зависимости между основными геометрическими, силовыми и механическими параметрами деталей, которым позволили бы конструктору задаваться необходимыми и материалами еще на стадии проектирования, а при решении оптимизационных задач варьировать не только конструктивными параметрами, но и параметрами материалов. Естественно, что такие зависимости не должны содержать эмпирических коэффициентов, на определение которых требуется значительный материальные затраты и время.

Поэтому целью статьи является получение сопротивлений качению с использованием общепринятых механических констант материалов и геометрических размеров для наиболее распространенных схем контакта и сравнить их по относительной величине сопротивления качению.

Основным материалом исследований. Сначала рассмотрим наиболее распространенные схемы контакта.

1) Схема контакта цилиндр-плоскость

Если плоскость-рельс шириной , а цилиндр колесо радиуса ,то критическая сила при величине допускаемых контактных напряжений  согласно формуле Герца [3].

                                        .                                             (1)

Данная формула справедлива для случая, когда модули упругости колеса  и рельса  одинаковы и равны , а также если равны коэффициенты Пуассона .

Полуширина полоски контакта при силе

                                            .                                                 (2)

Значение коэффициента трения качения найдем из формулы, полученной в [4] для крановых рельсов:

                  .                       (3)

При известных значениях  и  сопротивление качению колеса

                                ,                                      (4)

отметим, что в формулах (3) и (4) радиус колеса в метрах.

Формула (4) определяет абсолютную величину сопротивления качению. Однако, чаще всего, ввиду зависимости  от , это не дает полного представления об истинном значении этого сопротивления поэтому, введем понятие относительной величины сопротивления качению как отношения сопротивления  к максимальной нагрузки на колесо, т.е. .

Это отношения имеет вид

                            .                                  (5)

Зависимость  от радиуса колеса  показана на рис. 1. Данные получены при  МПа;  мм;  МПа, а значения  соответствуют допускаемым напряжениям.

Менее важной с практической стороны, но интересно с познавательной является величина отношения массы  колеса к ; она показана на рис. 1.

Рис. 1. Зависимости от радиуса колеса: 1 – отношения ;
2 – отношения ; 3 – нагрузка ; 4 – коэффициента трения качения .

 

Выразив  через объемную массу запишем отношения

                                           .                                                 (6)

Приравняв правые части выражений (5) и (6), получим уравнение, из которого может быть найден рациональный радиус колеса, при котором его масса и сопротивление качению будут минимальны

                              .                                   (7)

Для решения этого уравнения в первом приближении примем экспоненту равной единице, т.е.

                                         .                                               (8)

Во втором приближении

                       .                            (9)

При  т/м3 значение  полученные по формуле (8) необходимо увеличить на 10…12%, что будет соответствовать радиусу колеса  м

2) Аналогичные выкладки проведём для схемы контакта «цилиндры со взаимно перпендикулярными осями» (цилиндрическое колесо – крановый рельс).

Как и в первом случае предположим, что модули упругости и коэффициенты Пуассона материалов колес и рельс одинаковые.

Ввиду громоздкой зависимости между радиусам колес  и радиусом закругления головки рельса  будем поочередно принимать один из них постоянным, а второй-изменяемым.

В таком случаи критическую силу можно определить из формулы.

                                                                                    (10)

где   – коэффициент, зависящий от соотношения коэффициентов уравнения эллипса касания, .

Полуширин пятна контакта при силе

                                     ,                                         (11)

где  – коэффициент, зависящий от тех же параметров, что и .

Поскольку при точечном контакте [4]

                                       .                                          (12)

Подставив сюда значение  из формулы (10), получим

                            .                                (13)

Сопротивление качению колеса при величине  [11]

                        ,                           (14)

и формула (4) принимает вид

                          .                              (15)

Отметим, что при  и  формулы (10) и (11) имеют вид.

              ,                 (16)

                         .

На рис. 2 показаны отношения  в зависимости от закругления

Рис. 2. Зависимость относительного сопротивления качению колеса: а – от радиуса закругления головки рельса при различных радиусах колеса
(1, 1’ –  м; 2, 2’ –  м; 3, 3’-  м); б – от радиуса колеса
 (1, 1’ – ; 2, 2’ –  м); 2’, 3’ – результаты, полученные во втором приближении

головки рельса и радиуса колеса во втором и первом приближениях. Результаты получены при  МПа.

На рис. 3 показаны зависимости относительного сопротивления качению колеса от допускаемых контактных напряжений.

Рис. 3. Зависимость относительного сопротивления качению колеса от допускаемых контактных напряжений ( мм); 1 –  м;
2 –  м; 1’, 2’ – допускаемые нагрузки на колесо; 1”,2” – сопротивление качению колеса.

 

3) Не менее важной задачей является определение коэффициента полезного действия при передаче момента выгнутой и вогнутой поверхностями.

3.1) Цилиндры с внутренним и нагруженным контактами.

Расчетные схемы показаны на рис. 4.

Момент необходимый для преодоления сопротивлений только от качения при условии, что ведомым цилиндром с радиусом  передается известный момент .

Если коэффициент трения скольжения в месте контакта , то необходимая сила прижатия цилиндров.

                                             .                                                 (17)

Естественно, материал цилиндров должен быть таким, чтоб контактные напряжения не превышали допускаемых. При тех же допущениях, что принято выше величина  найдется из выражений:

при наружном контакте [4]

                                ,                                    (18)

при внутреннем контакте

                                 .                                    (19)

Рис. 4. Схема касания фрикционной передачи с линейным касанием поверхностей: а) – наружное касание; б) – внутреннее касание.

 

Чтоб знать величину момента, необходимого для преодоления сопротивлений качению найдем коэффициент трения качения, определив полуширину пятна контакта:

при нагруженном контакте

                                  ,                                      (20)

при внутреннем контакте

                                  .                                      (21)

Коэффициент трения качения соответственно

                                   ,                                       (22)

                                   .                                       (23)

Момент, который необходимо преодолеть

                     ,                         (24)

                     .                         (25)

Отношение моментов

                                    ,                                       (26)

где  – передаточное число.

Это зависимость в функции  показано на рис. 5. Отметим, что и отношение  имеет эту же величину (26).

Рис. 5. Зависимость от передаточного числа: 1 – КПД при наружном контакте; 2 – КПД при внутреннем контакте; 3 – относительная стоимость материала при внутреннем контакте; 4 – допустимые контактные напряжения при внутреннем контакте.

КПД передач

                               ,                                  (27)

                               .                                  (28)

Зависимости  и  от передаточного числа при  Нм;  МПа;  мм;  показана на рис. 5.

 

3.2 Качение по выгнутой поверхности тела вида роликового подшипника.

В этом случаи контакт точечный и при определении коэффициента трения качения будем пользоваться формулой (12) и для уменьшения объёма выкладок примем модули упругости одинаковыми, а коэффициенты Пуассона равными 0,3.

Допускаемые контактные напряжение определим из выражений:

при выгнутом поверхности (рис.6а)

                      .                          (29)

при вогнутый поверхности (рис. 6б)

                      ,                          (30)

где  – коэффициентом, зависящий от соотношения коэффициента  и  эллипса касания.

   .           

Рис. 6. Схемы касания тела качения типа роликового подшипника:
а – выгнутая поверхность; б – вогнутая поверхность.

 

Чтоб размеры были одинаковыми при схемах  и  необходимо, чтоб отношении контактных напряжений составляло

                               .                                  (31)

при одинаковых значениях   и , что возможно когда

              .

Полуширины пятин контакта

                      .                          (32)

                      .                          (33)

Соответствующие значения коэффициентов трения качения определятся из выражений:

            ,                (34)

            ,                (35)

где  – радиус качения.

Моменты необходимые для преодоления качения роликов по поверхностям

    .        (36)

    .        (37)

Аналогично (27) и (28) найдем КПД (показана на рис. 5)

                      .                          (38)

                      .                          (39)

Анализ полученных зависимостей и графиков позволяет сделать следующие выводы:

– предложенные формулы для определения отношения  дадут возможность инженеру оперировать геометрическими параметрами и показателями характеризующими механические свойства тела качения и поверхности качения;

– относительное сопротивление качению колеса по рельсу увеличивается с увеличением радиуса закругления головки рельса и уменьшается с увеличением радиуса колеса (при нагрузке на колесо, соответствующей величине допускаемых напряжений), а увеличение допускаемых контактных напряжений приводит к увеличению относительной величины сопротивления качению;

– КПД при вогнутой поверхности при качении выше, чем выгнутой и в значительной мере зависит от соотношения радиусов.

 

Литература

1.                 Джонсон К. Механика контактного взаимодействия, - М.: Мир, 1989. – 510 с.

2.                 Фролов К.В. Основы НТП // Новое в жизни, науке, технике. Сер. Техника. – 1987. - № 11. С. 8-46.

3.                 Справочник по сопротивлению материалов / Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.А. – Киев: Наук. Умка. 1988. – 736 с.

4.                 Бондаренко Л.М., Довбня М.П., Ловейкін В.С. Деформаційні опори в машинах. Дніпропетровськ.: Дніпро-VAL, 2002. 200 c.