Ленюк М.П.

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур’є – Ейлера – Бесселя на полярній осі

Побудуємо обмежений на множині

I = {r: r Î (R₀, R₁) (R₁, R₂) (R_2, ¥); R₀ ≥ 0}

розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур’є, Ейлера та Бесселя для модифікованих функцій

, r Î (R₀, R₁),

, r Î (R₁, R₂) (1)

, r Î (R₂, ¥),

за крайовими умовами

, (2)

та умовами спряження

; j, k = 1, 2. (3)

У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Фур’є [1] L₁=d²/dr², Ейлера [1] та Бесселя [2] = d²/dr² +

Будемо припускати, що виконані умови на коефіцієнти:

q_j>0, , , , , j,k=1,2.

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального оператора Фур’є утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють функції Бесселя першого роду та другого роду [2].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє побудувати розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом функцій Коші [1,3]:

(4)

Тут - функції Коші [1,3]:

(5)

Припустимо, що функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему:

Звідси знаходимо співвідношення:

(6)

Доповнимо рівності (6) алгебраїчними рівняннями:

(7)

Із алгебраїчної системи (6),(7) знаходимо, що

,

Цим функція Коші E₁(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:

(8)

У рівностях (7)-(8) беруть участь функції:

Нехай функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають алгебраїчну систему :

Звідси знаходимо співвідношення:

(9)

Доповнимо систему (9) алгебраїчними рівняннями:

(10)

Із алгебраїчної системи (10) маємо:

Цим функція Коші E₂(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:

(11)

У рівностях (10)-(11) беруть участь функції:

.

Нехай функція Коші

Властивості (5) функції Коші дають систему з двох рівнянь:

Звідси одержуємо співвідношення:

(12)

Доповнимо рівності(12) алгебраїчним рівнянням

(13)

Із алгебраїчної системи (12),(13) знаходимо, що

Цим функція Коші E₃(r,ρ) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r=ρ має структуру:

(14)

У рівностях (13),(14) беруть участь функції:

j=1,2,

Крайова умова в точці r=R₀ та умови спряження (3) для визначення величин й дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

j=1,2

j=1,2 (15)

У системі (15) беруть участь функції

та символ Кронекера [4].

Введемо до розгляду функції:

j=1,2,

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1)-(3): для будь-якого ненульового вектора визначник алгебраїчної системи (15) [4]

=

(16)

Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3): 1) породжені крайовою умовою в точці r=R₀ функції Гріна

(17)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

(18)

;

3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

(19)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (15) й підстановки отриманих значень A₁,A₂,B₁,B₂,B₃ у рівності (4) маємо (після низки елементарних перетворень) єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

. (20)

Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(21)

одинична функція Гевісайда [3].

Означення: За область визначення ГДО приймемо множину G вектор –функцій з такими властивостями 1) вектор-функція неперервна на множині ; 2) функції задовольняють крайові умови

(22)

3) функції задовольняють умови спряження

j, k = 1, 2 (23)

Оператор М_ν,(α) самоспряжений й має одну особливу точку r = ∞ [5]. Тому його спектр дійсний та неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає спектральна вектор-функція

При цьому функції повинні задовольняти диференціальні рівняння

r Î (R₀, R₁),

r Î (R₁, R₂), (24)

r Î (R₂, ∞),

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є складають тригонометричні функції v₁=cosb₁r та U₂=sinb₁r [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя складають звичайні функції Бесселя першого роду та другого роду .

Якщо покласти

r Î (R₀, R₁)

r Î (R₁, R₂),

r Î (R₂,∞), (25)

то крайова умова в точці r=R₀ та умови спряження (23) для визначення шести величин дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

(26)

У системі (26) беруть участь функції:

У результаті стандартного розв’язання алгебраїчної системи (26) [4] й підстановки величин A_j та B_j у рівності (25) маємо функції :

(27).

У рівностях (27) прийняті позначення:

,

, j=1,2.

Визначимо спектральну щільність [5]

(28)

та вагову функцію [5]

, (29)

,

Наявність спектральної функції , вагової функції σ(r) та спектральної щільності дає можливість визначити пряме й обернене гібридне інтегральне перетворення (ГІП),породжене на множині ГДО :

, (30)

(31)

Тут Î G(область визначення ГДО ).

Єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3), одержаний за відомою логічною схемою [6] методом ГІП згідно формул (30),(31), має структуру:

+

+

(32)

У формулі (32) беруть участь величини та функції:

Порівнюючи розв’язки (20) та (32) в силу єдиності, одержуємо наступні формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами ГДО :

, (33)

, (34)

, , (35)

, , (36)

Функції визначені формулами (19), функції Гріна визначені формулами (17), а функції Гріна умов спряження визначені формулами (18).

Зауваження 1. Якщо , то