К.ф.-м.н., доцент Габасова О.Р.

Белорусский национальный технический университет

Об условиях ε-оптимальности программных управлений в задаче оптимального управления одним типом гибридных систем

 

Рассмотрим линейную задачу оптимального управления гибридных систем:

,                                 (1)

 

           (2)

,                                       (3)

    (4)

Здесь  – промежуток управления , фиксированы, ,  – периоды квантования времени, – заданные натуральные числа , ; - заданные матрицы, ;  ;  ; , – заданные матрицы и векторы; ,   – заданные кусочно-непрерывные матричные функции.

Определение. Функция  называется дискретной в прямом (обратном) времени с периодом заданное натуральное число), если     

Пусть , , – заданные дискретные матричные функции в прямом времени с периодом квантования ; – дискретная функция в прямом времени с периодом квантования ;– состояние непрерывной части системы в момент времени , – состояние дискретной части системы.

Для задачи (1) – (4) справедлива следующая формула Коши [1]:

     

                                 (5)

.

Здесь функции    удовлетворяют следующим условиям:

       При построении алгоритмов вычисления оптимальных программ большую роль играет оценка субоптимальности , которая зависит от программы  и опоры. Известно, что при оптимальном управлении объектами, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями

                             ,                            (6)

оценка субоптимальности допускает разложение

,

где -мера неоптимальности допустимой программы , - мера неоптимальности опоры  - оптимальная программа, двойственная по отношению к задаче (5).

         Теорема 2. Оценка субоптимальности опорного управления допускает представление

.

         Доказательство. Принимая во внимание результаты работы [3], запишем оценку субоптимальности опорной программы для исходной задачи (1) – (4). Имеем

   .     (7)

Преобразуем (7):

                             (8)

.

Используя (5), получаем

                                             (9)

 

Аналогично,

æu+æv

                (10)

.

Вычитая (9) из (10), получим

æu+æv+       (11)

.

Проведем аналогичные преобразования ограничений (3)

                                          (12)

                                  .                                       

æu+æv=

Сравнивая (12), (11) и (7) получаем

=æu+æv.

Теорема доказана.

Теорема 2 (критерий субоптимальности). При  для -оптимальности программы необходимо и достаточно существование такой опоры , при которой на опорной программе  и соответствующих ей траекториях ,  прямой  и сопряженной систем и котраектории выполняются соотношения

;

.

        

Литература

1.Габасова О.Р. Оптимизация линейных гибридных систем управления // Вестник БНТУ. –2007. – № 2. – С.  71 – 75.

2. Альсевич В.В. Оптимизация линейных экономических моделей. Статические задачи: учебное пособие / В.В. Альсевич, Р. Габасов, В.С. Глушенков– Мн.: БГУ, 2000. – 210 с.

3. Конструктивные методы оптимизации в 5 ч. / Габасов Р. [и др.] Мн.: Университетское. 1984 – 1998. –  Ч.1. Линейные задачи. Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, А.И. Тятюшкин – 1983. – 214 с.