М. П. Ленюк

Чернівецький факультет НТУ “ХПІ”

Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра-Ейлера-

-Фур’є на полярній осі r ≥R₀ >0

Запровадимо інтегральне перетворення, породжене на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(1)

Тут –одинична функція Гевісайда [1], -узагальнений диференціальний оператор Лежандра [3], -диференціальний оператор Ейлера другого порядку [2], - диференціальний оператор Фур’є другого порядку [2].

Означення. Областю визначення ГДО M назвемо множину G вектор-функцій g(r)={g₁ (r); g₂ (r); g₃ (r)} з такими властивостями:

1) вектор-функція ={неперервна на ;

2) функції задовольняють крайові умови

, , (2)

3) функції задовольняють умови спряження

, (3)

Нагадаємо, що з умов спряження (3) випливає базова тотожність:

(4)

Оскільки ГДО M самоспряжений і на множині має одну особливу точку , то його спектр дійсний та неперервний [4]. Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає спектральна вектор-функція

(5)

При цьому функції задовольняють відповідно диференціальні рівняння

(6)

крайові умови (2) та умови спряження (3).

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра складають функції та [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та ; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є складають тригонометричні функції та [2].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє зобразити функції як лінійну комбінацію фундаментальної системи розв’язків [2].

=

= (7)

Крайова умова в точці r=R₀ та умови спряження (3) для визначення шести величин A_j, B_j(j=) дають однорідну алгебраїчну системи з п’яти рівнянь:

(8)

Алгебраїчна система (8) сумісна. Її розв’язок будується стандартним способом [5]. Покладемо , а , де підлягає визначенню. Перше рівняння системи (8) стає тотожністю, а два наступних дають неоднорідну алгебраїчну систему для визначення :

(9)

Тут прийнято, що

Визначник алгебраїчної системи (9)

Алгебраїчна система (9) має єдиний розв’язок [5]:

(10)

При відомих А₂, В₂ для визначення А_3, В₃ маємо неоднорідну алгебраїчну систему з двох рівнянь:

(11)

У системі (11) беруть участь функції:

Алгебраїчна система (11) має єдиний розв’язок [5]:

(12)

Підставивши обчислені за формулами (10) та (12) величини та у формули (7), маємо функції:

(13)

Згідно рівності (5) спектральна вектор-функція стає відомою.

Визначимо числа

вагову функцію

та спектральну щільність

Наявність вагової функції , спектральної вектор-функції та спектральної щільності дозволяє визначити пряме та обернене гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на множині ГДО [6,7]:

(14)

(15)

Математичним обґрунтуванням правил (14), (15) є твердження.

Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо вектор-функція

неперервна на множині , абсолютно сумовна там й має обмежену варіацію, то для будь-якого справджується інтегральне зображення:

(16)

Доведення: Доведення теореми базується на дельта-подібності подвійного невласного інтегралу

(17)

якщо , та дорівнює нулю, якщо .

Нехай функція

(18)

Помножимо рівність (18) на вираз та проінтегруємо по r від r=R₀ до . В силу (17) знаходимо, що функція

(19)

Підставимо у рівність (18) функцію

згідно рівності (19). Одержуємо рівність

(20)

яка точно співпадає з рівністю (16)

Доведення теореми завершено.

Визначимо величини та функції:

Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція

неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови

(21)

та умови спряження

(22)

то має місце основна тотожність ГІП ГДО :

(23)

Доведення повторює логічну схему доведення теореми про основну тотожність[6]. Дійсно, згідно правила (14) маємо:

(24)

Проінтегруємо в (24) два рази частинами під знаками інтегралів:

(25)

Якщо то в точці знаходимо, що

(26)

Внаслідок базової тотожності (4) маємо:

1) в точці

(27)

тому, що в силу вибору чисел та вираз

2) в точці

(28)

тому, що в силу вибору чисел та вираз

Із диференціальних тотожностей

знаходимо диференціальні рівності

(29)

Позаінтегральний член при перетворюється в нуль в силу крайової умови в точці .

Підставимо одержані функціональні співвідношення (26) – (29) в рівність (25). Одержуємо:

(30)

що співпадає з (23) тому, що

Доведення завершено.

Правила (14), (15) та (23) складають ефективний математичний апарат для розв’язання широкого класу стаціонарних та нестаціонарних задач математичної фізики кусково-однорідних середовищ.

Література:

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальний курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальних уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

3. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

4. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка,

2004. – 348с.

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

6. Ленюк М.П. Гібридні інтегральні перетворення типу Ейлера-(Фур’є, Бесселя). – Львів, 2009. – 76с.-(Препринт/ НАН України. Інститут прикл. проблем механ. і матем. ім. Я.С. Підстригача; 02.09). Чернівці: Прут, 2009.

7. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Ейлера, Бесселя, Лежандра). Частина 2. – Тернопіль: Економічна думка, 2011. – 384с.