К.т.н. Твердоступ Н.И., Иваненко А.Ю.

Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара

ВЛИЯНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ НА

ПОГРЕШНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ

Для получения надежного результата измерения с минимальной погрешностью используют предварительную обработку значений отдельных измерений [1]. При этом очень важным является выбор алгоритма обработки, так как от него, в большинстве случаев, зависит качество полученного результата.

В настоящее время для обработки временных рядов широко используют адаптивный алгоритм экспоненциального сглаживания [2], суть которого сводится к преобразованию текущих значений переменной X_i согласно рекуррентной формуле Брауна [3]

(1)

где – экспоненциальные средние (сглаженные значения уровней временного ряда) на моменты времени i и i – 1 соответственно; α – параметр сглаживания (0 < α ≤ 1). Представляет интерес определение эффективности этого алгоритма при обработке числовых рядов в виде последовательностей значений отдельных измерений некоторой физической величины, полученных в условиях влияния мешающих факторов.

Для исследования влияния экспоненциального сглаживания на погрешность Δ X результата измерения в качестве числовых рядов были использованы значения X_i индуктивности параметрического датчика, располагаемого на поверхности железорудного штуфа, представляющего собой слабомагнитное вещество с сильной анизотропией, с целью определения действительной величины индуктивности в виде среднего арифметического X_ср . Влияние на результат измерения мешающих факторов было обеспечено использованием в качестве параметрических датчиков катушек с полной осевой или квазиосевой симметрией, отличающихся величиной градиента магнитного поля в зоне взаимодействия с поверхностью штуфа, при этом датчики располагали или на гладкой поверхности или на шероховатой со случайным характером распределения кривизны. Для оценки динамики поведения X_ср и Δ X в зависимости от количества измерений N среднее значение определяли как кумулятивное скользящее

при 1 ≤ N ≤ 100, а погрешность среднего как доверительный интервал ΔX с вероятностью 0,95

где t_N – коэффициент Стьюдента [1]. Величины X_ср(N) и ΔX(N) вычисляли для исходного и сглаженного согласно (1) числовых рядов. В качестве действительной величины индуктивности датчика были приняты значения X_ср при

N = 100 для исходного числового ряда.

Оптимизация параметра сглаживания α проведена для числового ряда значений индуктивности датчика с квазиосевой симметрией, расположенного на шероховатой поверхности при значениях α: 0,01, 0,1 и 0,5. На рис. 1, 2, 3

исходный ряд , сглаженный ряд

Рис. 1 – Исходные X_i и сглаженные значения в зависимости от

количества измерений N (параметр α = 0,1)

исходная зависимость, сглаженная зависимость

N

N

N

N

Рис. 2 – Кумулятивное скользящее среднее исходных X_ср и сглаженных значений (α = 0,1)

зависимость , зависимость

Рис. 3 – Погрешности скользящего среднего исходных ΔX и сглаженных значений как функции количества измерений N (α = 0,1)

представлены результаты сглаживания при α = 0,1. Видно, что сглаживание существенно уменьшает диапазон колебаний значений исходного ряда и кумулятивного скользящего среднего, уменьшает погрешность среднего. Результаты оптимизации параметра сглаживания показаны в таблице 1.

Таблица 1. – Влияние параметра сглаживания α на результат измерения и

его погрешность

Действительная величина	Исходный ряд	Сглаженный ряд
		α = 0,01	α = 0,1	α = 0,5
Результат измерения, Xср	5,789	5,775	5,788	5,790
Погрешность, ΔX	± 0,016	± 0,001	± 0,002	± 0,009

Из таблицы 1 следует, что значение параметра α = 0,1 является наиболее близким к оптимальному, так как разница результатов измерений X_ср до и после сглаживания составляет только 0,001 по сравнению с 0,014 при α = 0,01, также погрешность результата измерения ΔX равна ± 0,002, что меньше по-грешности ± 0,009 при α = 0,5. При значении α = 0,1 получена погрешность результата измерения в восемь раз меньше погрешности для исходного (не-сглаженного) ряда.

Влияние сглаживания (при α = 0,1) на погрешности результатов измерений датчиками с осевой и квазиосевой симметрией на шероховатой поверхности показано в таблице 2. Датчики имеют разные собственные индуктивности, потому справедливо сравнение относительных погрешностей δ = ΔX / X_ср.

Таблица 2.– Погрешности датчиков с осевой и квазиосевой симметрией

Параметр результата измерения	Исходный ряд		Сглаженный ряд
	Квазиосевая	Осевая	Квазиосевая	Осевая
Действительное значение, Xср	5,789	26,380	5,788	26,388
Абсолютная погрешность, ΔX	± 0,016	± 0,006	± 0,002	± 0,002
Относительная погрешность, δ	0,276%	0,023%	0,035%	0,008%

Из сравнения данных таблицы 2 следует такое:

– отношение относительных погрешностей δ для датчиков с квазиосевой и осевой симметрией до сглаживания равно 12, после сглаживания – 4,4 , следовательно сглаживание уменьшает различие погрешностей по величине;

– для датчика с квазиосевой симметрией после сглаживания погрешность δ уменшилась в 7,89 раза, а для датчика с осевой симметрией – в 2,88 раза, следовательно, сглаживание оказывает большее влияние на большую погрешность чем на меньшую.

Количественные данные влияния мешающего воздействия шероховатости поверхности до и после сглаживания для датчика с осевой симметрией показаны в таблице 3.

Таблица 3.– Погрешности для датчика с осевой симметрией на шероховатой и гладкой поверхностях

Параметр результата измерения	Исходный ряд		Сглаженный ряд
	Шероховатая	Гладкая	Шероховатая	Гладкая
Действительное значение, Xср	26,416	26,370	26,388	26,372
Абсолютная похибка, Δ X	± 0,006	± 0,006	± 0,002	± 0,002
Относительная погрешность, δ	0,0227%	0,0228%	0,0076%	0,0076%

Сравнивая соответствующие параметры из таблицы 3 следует:

– на действительное значение результата измерения X_ср шероховатость поверхности оказывает влияние, превосходящее абсолютную погрешность Δ X , после сглаживания это влияние ослабляется почти в три раза;

– сглаживание исходного ряда в три раза уменьшает погрешность результата без ощутимого влияния на ее величину шероховатости поверхности.

Проведенные исследования показали, что экспоненциальное сглаживание числовых рядов измерительных данных позволяет уменьшить погрешность результата измерений, ослабить влияние таких мешающих факторов как шероховатость контролируемой поверхности анизотропного вещества и величина градиента магнитного поля индуктивного датчика.

Алгоритм экспоненциального сглаживания целесообразно использовать для обработки измерительной информации с целью повышения качества результата измерения.

Литература:

1. Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента.– М.: Наука, 1971. – 192 с.

2. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов.– М.: Финансы и статистика, 2003. – 416 с.

3. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. – М.: Статистика, 1977. – 200 с.