Ìàòåìàòèêà/3. Теория вероятностей и математическая статистика

д.ф.-м.н.. Ахметьев П.М.

ИЗМИРАН

Три задачи по теории вероятностей и математической статистике для курса математического анализа

Математический анализ я преподаю с 2000 года на Экономическом факультете МГУ как почасовик, в рамках готовой учебной программы для студентов нематематиков. В прошлом году я впервые согласился проводить практические занятия по курсу теории вероятностей и математической статистики. Я обнаружил, что курсы мало стыкуются между собой.

Подобрал несколько простых задачи, которые рекомендую включить в курс матанализа для сращивания двух дисциплин.

Задача 1. (из сборника задач по матанализу Б.П.Демидовича)

Вычислить сумму обобщенной геометрической прогрессии:

$$u(q)= q + 2q^2 + 3q^3+ \dots + , \qquad 0<q<1.$$

Решение методом авторекурсии. Поскольку

$$u(q)=q+q(2q+3q^2+\dots)=q+q(q+q^2+\dots + q+2q+3q^3 + \dots),$$

получим уравнение $u(q)= q(1+\frac{q}{1-q}+u(q))$ из которого

$$u(q)=\frac{q}{(1-q)^2}.$$

Самое время объяснить студентам--первокурсникам, большая половина которых тебя внимательно слушает (ведь они начали учиться в Университете всего месяц назад!), что вычислили математическое ожидание появления события с номером $n$ для геометрического распределения вероятностей на пространстве элементарных событий: $1=(1-q)[1+q+q^2+\dots]$. Попытка вычислить второй момент геометрического распределения, дважды применив метод авторекурсии, и просуммировав ряд

$$v(q)= q + 4q^2 + 9q^3+ \dots + ,$$

как правило, интереса не вызывает. В курсе теории вероятностей для второкурсников предполагается вычислить производящую функцию моментов геометрического распределения. Но, насколько мне известно, до производящей функции лектор не добирается, а формула матожидания и дисперсии геометрического распределения принимаются без доказательства.

Чтобы определение гамма-функции в курсе математической статистики не оказалось неприятной формальностью, предлагаю обсудить произведения (конечные и бесконечные) на семинарах по матанализу в рамках темы последовательности и пределы.

Задача 2а.. Пример Эйлера. (можно следовать изложению [1, 531 (6)]).

Вычислить произведение

$$ E = \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(\frac{2}{n}) \dots \Gamma(\frac{n-1}{n} .$$

В доказательстве используется лишь формула дополнения

$$ \Gamma(a) \Gamma(1-a) = \frac{\pi}{\sin{a\pi}}, $$

которая входит в обязательную программу по матстатистике, и элементарные свойства комплексных чисел, включенные в обязательный курс алгебры.

Задача 2б. Пример Эйлера (можно использовать [1, пример 402-11],[2]). Преобразовать бесконечное произведение в ряд:

$$ \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1-\frac{1}{p^2_k}} = $$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6},$$ $p_1=2, p_2=3, p_3=5, \dots$. Замечательная интерпретация тождества Эйлера предложена Владимиром .Игоревичем Арнольдом на первой странице книги [2]. Вероятность того, что случайная дробь $\frac{p}{q}$ несократима равна $\frac{6}{\pi^2}$. Оказывается, что несократимых дробей несколько больше, чем сократимых.

В курсе математической статистики требуется вычислять пределы функций распределения случайных величин (простейший пример: вычислить предельную функцию распределения для среднего арифметического $\frac{\bar{x}}$ для выборки случайной величины $x$; в программу включены и более сложные разновидности такой задачи о предельном распределении Фишера). При решении используют понятие сходимости по вероятности: последовательность функций $f_i$ сходится по вероятности к функции $g$, если почти наверняка для любого события сходится предел вероятностей к предельной вероятности.

Задача 3 (Я.Б. Зельдович). Придумать случайную величину, матожидание которой равно 1, а вероятность того, что эта случайная величина принимает ненулевое значение, равна нулю. (Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине с нулевым распределением с матожиданием $1$.)

Решение: Рассмотрим семейство случайных величин $\xi_n$, $n=1,2, \dots$. Случайная величина $\xi_n$ распределена на отрезке $[0,1]$, и принимает значения $\xi_n(x)=n$, при $x \in [1-\frac{1}{n},1]$, $\xi_n(x)=0$, при $x \in [0,1-\frac{1}{n},1]$. В пределе $n \to \infty$ получим требуемое.

При разборе задачи можно обратить внимание на следующее. Если потребовать, что при предельном переходе дисперсия остается ограниченной, то парадокс исчезает. В стандартном курсе матанализа для второкурсников, определяя пространства функций $L_1$ и $L_2$, можно об этом упомянуть.

Литература:

1 Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления II. Москва, Наука 1969, издание 7.

2. В.И.Арнольд, Группы Эйлера и арифметика геометрических прогрессий., МЦНМО, Москва, (2003) 44с.