Математика /1. Дифференциальные и интегральные уравнения

К.ф.-м.н. Сяський В.А.

Национальный университет водного хозяйства и природопользования

Сингулярные интегральные уравнения в контактных задачах кусочно-однородных пластин

К сингулярным интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям приводят задачи о контактном взаимодействии пластин с разомкнутыми упругими элементами, концентрации напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. Некоторые вопросы разрешимости этих уравнений в том или ином классе функций, приближенные методы решения рассматривались в [1 – 5].

Рассмотрим кусочно-однородную пластинку, состоящую из бесконечной пластинки с круговым отверстием радиусом ρ₀=1 и круговой пластинки (диска), которые на участке спаяны между собой. Остальная часть контура (участок L₂) неподкреплена. Данная система находится под действием растягивающих усилий Т_х^∞=р, Т_y^∞=q(p>3q), приложенных „на бесконечности”. Пластинка отнесена к полярной системе координат (ρ, λ) с полюсом в центре диска. Предполагается, что в процессе деформации свободные берега разреза на участке, контактируют без трения.

В данной работе ставится задача найти контактные и кольцевые (j=1, 2) усилия на линии раздела материалов пластинок, а также величину угла β₀. Здесь, и в дальнейшем, величины с индексом „1” относятся к бесконечной пластинке, с индексом „2” – к диску.

Напряженное состояние пластинок на линии раздела материалов определяется формулами [4]

, , (1)

где ,

,

, , ,

, , , ;

– упругие перемещения точек контура пластинок; – толщины, модули упругости и коэффициенты Пуассона.

Кольцевые усилия на линии L₁ + L₂ определяются формулами [4]

, . (2)

Граничные условия задачи имеют вид при ρ=ρ₀ [4, 5]

U₁=U₂, V₁=V₂, , , ; (3)

, , , ; (4)

, . (5)

Разделяя в (1) действительную и мнимую части и подставляя в граничные условия (3), (4), получим систему сингулярных интегральных уравнений относительно контактных усилий на линии раздела материалов пластинок. Установлено, что решение системы (1), (3) необходимо искать в классе неограниченных на концах участка L₁ функций, а решение системы (1), (4) – в классе ограниченных на концах участка L₃ функций.

Приближенное решение системы сингулярных интегральных уравнений (1), (3), (4) находим методом Мультоппа-Каландия [1, 4] в виде

; (6)

; (7)

где λ=arctg a₀ cos φ, β= arctg b₀ cos ψ, a₀=tg α₀, b₀=tg β₀, ; , – узлы Чебышева для интерполяционных полиномов Лагранжа, N – число точек коллокации.

Подставляя (6), (7) при φ=φ_m, ψ=ψ_m в (1), (3), (4), получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных .

Для определения величины угла β₀ используем соотношение для точек зоны контакта [5]

(8)

где u_ρ (p, q) – радиальное перемещение точек контура отверстия пластинки при отсутствии диска.

Литература:

1. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. – 303 с.

2. Мартынович Т.Л., Сяський В.А. Определение напряженного состояния пластинки с разомкнутым ребром жесткости // Изв. вузов. Строительство и архитектура. – 1985. – №8. – С. 32-34.

3. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. – М.: Наука, 1982. – 342 с.

4. Сяський В.А. Напряженное состояние кусочно-однородной пластинки с инородным дуговым включением // Гидромелиорация и гидротехническое строительство. Львов: Изд-во Львов. ун-та . – 1984. – №12. – С. 115-119.

5. Теплый М.И. Контактные задачи для областей с круговыми границами. – Львов: Вища школа, 1983. – 176 с.