Технические науки/6.
Электротехника и радиоэлектроника
Кравчик Ю.С.
Одесская национальная Академия связи им.
А.С.Попова, соискатель, ЧП, Украина
ПРИМЕНЕНИЕ 3D-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Данная статья относится к
электродинамике. Традиционные методы точного расчета электромагнитного поля посредством
преобразования систем координат [1] позволяют рассчитать поле в ограниченном
числе случаев, а приближенные методы не всегда отвечают техническим
потребностям расчета электромагнитных устройств и систем. Поэтому цель данной
статьи – предложить метод получения 3-D-решений системы уравнений Максвелла на примерах
получения решений вблизи ребристой структуры и поверхности 2-го порядка.
Будем искать такие 3-D-преобразования,
которые преобразуют решение системы уравнений Максвелла в решение.
Запишем систему уравнений Максвелла [1,2] в системе единиц СИ в следующем виде:
Где: EX,EY,EZ,HX,HY,HZ – соответственно, составляющие
электрического и магнитного полей, α
и β, соответственно,
электрический и магнитный потенциалы [2], x,y,z и t - пространственные и временная переменные.
Следует учитывать, что представления магнитных и электрических потенциалов α и β могут меняться ролями вследствие симметрии перестановки
между магнитным и электрическим полями [6]. В системе единиц Хэвисайда
электрическая и магнитная проницаемости
равны единице: ε=μ=1
Рассмотрим следующую задачу. Пусть задана
функция - решение F(x,y,z,t) системы
уравнений Максвелла (1)-(8) и некоторое
преобразование f системы координат:
где: x′,y′,z′ и t′ новые пространственные и временная
координаты.
Тогда при каких условиях
функция F(f) так же
является решением системы уравнений Максвелла.
Или, другими словами,
какие функции преобразования системы координат переводят решение системы
уравнений Максвелла в решение, или,
сокращенно, являются допустимыми преобразованиями.
В [2] предложены М-числа
- вариант 8-мерного обобщения комплексных чисел. Их свойства выбраны так, что условия
дифференцирования функций над ними (М-функций) тождественны системе уравнений
Максвелла. Рассмотрим М-фнкции [2] как аналог комплексных функций. В случае комплексных функций допустимыми
преобразованиями являются преобразования, которые сами удовлетворяют условиям
Коши-Римана [4].
Рассуждая по аналогии, следует предположить, что в случае М-функций допустимыми
преобразованиями являются функции, удовлетворяющие условиям дифференцирования,
или уравнениям Максвелла. Следовательно, решения системы уравнений Максвелла с
учетом двулистности значений следует рассматривать как преобразования системы
координат следующего вида:
(10)
где: X, ́Y, ́Z, ́T ́- пространственные и временная переменные листа Λ
́ большой переменной [2], λ
́- лист малой переменной.
Следовательно, решением
рассматриваемой задачи будет следующее утверждение. Сложная функция F(f) принадлежит области решений системы
уравнений Максвелла, если F(λ) и f(λ)
принадлежат области решений системы уравнений Максвелла. Другим словами,
сложная функция принадлежит области решений системы уравнений Максвелла, если
ее составляющие функции принадлежат той же области.
Справедливость этого
утверждения проверяется непосредственной проверкой в системе единиц Хэвисайда.
Действительно, проверим сохранение первого уравнения (1) системы уравнений
Максвелла. Его компоненты (1) при преобразовании (9) изменятся следующим
образом:
Сумма составляющих (11)-(14)
даст следующий результат:
вследствие уравнения (7)
системы уравнений Максвелла (1)-(8). Остальные составляющие дадут нулевую сумму
вследствие условий (1)-(8). Например, следующие составляющие:
образуют нулевую сумму. Действительно, 
вследствие (2), и 
вследствие (3), т.к.
ротор образует ненулевую комбинацию для электромагнитного поля. Если ротор
образует нулевую комбинацию, то такая компонента не принадлежит
электромагнитному полю, выпадает из области решений системы уравнений Максвелла
и не участвует в электромагнитной индукции [3].
Аналогично проверяется
выполнение других уравнений системы уравнений Максвелла (1)-(8).
Доказанное свойство
решений системы уравнений Максвелла используем для получения новых решений. Рассмотрим
это на следующих примерах.
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ 3-D РЕШЕНИЙ В ПОПЕРЕЧНО-ОДНОРОДНЫХ
СТРУКТУТАХ
Ранее в работе [3] рассматривались примеры получения Т-
решений системы уравнений Максвелла с использованием комплексных функций. Рассмотрим
примеры получения существенно трехмерных решений с использованием комплексных
функций как частного и упрощенного случая 3-D-преобразования.
Пусть задана комплексная
функция f(x,y),
удовлетворяющая условиям Коши-Римана [4], отображающая некоторую область (x,y) на верхнюю полуплоскость комплексной
плоскости (x ́,y ́):
Экспоненциальная функция exp(λ) М-аргумента может рассматриваться
как функция, отображающая верхнее полупространство в область 4-куба значений [2]. Функция exp(λ) определяет множество решений в виде
электрических и магнитных функций для прямоугольного резонатора [1,2], а так же
для верхнего полупространства над проводящей плоскостью вследствие выполнения
граничных условий [1]. Поэтому сложная функция 
так же будет решением системы уравнений Максвелла для
некоторой поперечно-однородной структуры, сечение которой определяет функция f(x,y). При этом
функция f(x,y) отображает
некоторую область на верхнюю полуплокость комплексной плоскости.
В качестве примера
рассмотрим комплексную функцию f- -1(x,y), преобразующую верхнюю полуплоскость комплексного
пространства на полуплоскость с установленными на ней равноотстоящими ребрами [4,5]. Обратную ей комплексную функцию f-(x,y)представим в
следующем виде:
где: a – действительный параметр задачи, i - мнимая единица.
Функцию f-(x,y) (18) будем
трактовать не как Т-поле [5], а как функцию, описывающую преобразование (x,y) →(x',y') [4].
Тогда следующая функция будет 3-D-решением для исходной области:
Где: i,j,k – кватернионные мнимые единицы, I – коммутативная мнимая единица [2].
Функцию arcos(x+iy) нельзя
представить в конечном виде в виде суммы действительной и мнимой составляющей.
Поэтому для ее вычисления воспользуемся разложением в степенной ряд с тремя
членами [5]:
После этого определим
решение для данной задачи, представив экспоненциальную функцию через аналоги
формулы Эйлера [2]:
где: x' и y' определяются из (20), z'=z,t'=t.
Составляющие
действительная и мнимые компоненты (21) представляют компоненты электрического
и магнитного полей и потенциалов.
Полный спектр решений в
виде электрических и магнитных функций определяется численно после введения
размерностных и амплитудных коэффициентов в формулу (21) и подстановки ее компонент
в систему уравнений Максвелла, записанную в системе единиц СИ (1)-(8), где ε и
μ не равны единице.
Граничные условия для функции (19) запишем в следующем виде аналогично [1]:
Где: mX, mY ,mZ
– целочисленные параметы, определяющие границы ячеек, на которые разбивается область с ребрами и проводящей
плоскостью. В каждой ячейке присутствует спектр электрических и магнитных
функций, аналогичных прямоугольному
резонатору с учетом их преобразования по выражению (18). В случае представления
функции arccos
в ряд с тремя членами, получим следующее уравнение:
В случае прямоугольного резонатора, это
прямоугольные клетки, которыми режется верхнее полупространство на ячейки
прямоугольных резонаторов. В случае (20)-(23) – это некоторые цилиндрические
поверхности. Заметим без доказательства, что решение (18)-(21) вместе с
решением [5] образуют между собой ортогональную систему функций аналогично
тому, как поперечная однородная волна и решение для прямоугольного резонатора
являются ортогональными и собственными функциями в полупространстве над плоской
проводящей поверхностью.
Данный пример показывает
возможность получения 3-D решений с использованием двумерных преобразований.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ВБЛИЗИ
ПОВЕРХНОСТИ ЦЕЛОГО ПОРЯДКА
Определение компонент
электромагнитного поля в конечном виде возможно только в простейших случаях. В
более сложных случаях представление электромагнитного поля в виде координатных
составляющих требует разложения в степенной ряд. Поэтому из всех членов ряда рассмотрим линейную и квадратичную
составляющие разложения и выясним их характеристики как полевого решения и
геометрического преобразования системы координат.
Рассмотрим следующую
линейную М – функцию f(λ):
где: a,b,c и d – действительные параметры.
Подстановка составляющих
электромагнитного поля (24) в систему уравнений Максвелла (1)-(8) в системе единиц Хэвисайда, как
нетрудно проверить, дает тождество. Такое поле имеет следующий физический
смысл. Электрическая составляющая E (24)
и электрический потенциал α
линейно изменяются во времени и пространстве. Магнитная составляющая H перпендикулярна электрической и постоянна
во времени.
Рассмотрим (24) как
системы преобразования координат двух видов. Первый вариант λ→λ' преобразования по
(10) и (24) соответствует повороту координатных осей:
Второй вариант λ→Λ' преобразования по (10) и (24) соответствует
переходу к движущейся системе координат с соответствующим изменением масштаба
временной координаты и соответствует преобразованию Лоренца [2]:
Следующей рассмотрим вариант квадратичной функции:
Компоненты функции (27)
записаны в системе единиц Хэвисайда. Рассмотрим функцию (27) как представление
электромагнитного поля. Для перехода в систему единиц СИ необходимо ввести
размерностные и амплитудные коэффициенты с учетом соответствия составляющих функции
и составляющих электромагнитного поля [2]:
Где:
nX , nY, nZ ,ω –
размерностные действительные
коэффициенты, HX0, HY0, HZ0, EX0, EY0, EZ0 – амплитудные
действительные коэффициенты.
Подстановка составляющих
(28) в систему уравнений Максвелла, записанную в системе единиц СИ (1)-(8) дает
следующие соотношения:
Из (29) получим следующие
соотношения:
Рассмотрим функцию (27)
как два варианта преобразования системы координат. Первый из них соответствует
преобразованию листа малой переменной на лист малой переменной [2]:
Второй вариант
преобразования соответствует преобразованию листа малой переменной на лист большой переменной [2]:
На основе квадратичных
преобразований (31) и (32) возможно получение
новых решений системы уравнений Максвелла. В качестве примера запишем
показательные функции:
Представляя показательные
функции (33) и (34) аналогами формулы Эйлера [2] (21), с учетом значений
штрихованных переменных (31) и (32), получим покомпонентное представление
функций F1 и F2. В этом случае компоненты электромагнитного поля записываются в конечном
разделенном виде. Свойства решений (33) и (34) (и (28)) требуют отдельного
рассмотрения. Здесь заметим, что эти решения не стационарны – все компоненты и
характеристики смещаются во времени. Определение граничных условий для функций
(33) и (34) позволяет определить поверхности выполненных граничных условий [5],
вдоль которых возможно выкладывание проводящих поверхностей. Граничные условия
определяются из следующих уравнений для
функции (33):
Для функции (34)
граничные условия будут аналогичными с учетом (32):
Как видно из (35) и (36),
поверхности будут смещаться во времени, т.к. зависят от t как от параметра. Следовательно, граничные условия,
выполненные в один момент времени, не будут выполняться через некоторое время. Поэтому выполнение
граничных условий можно считать выполненными только условно (приближенными) или
в фиксированный момент времени. Через некоторый промежуток времени граничные
условия могут выполниться снова. Вследствие этого электромагнитное поле при
выполнении граничных условий будет распространяться в таком волноводе с малым затуханием, а при их
нарушении – с большим. Это должно приводить к амплитудной модуляции электромагнитного
поля.
Описанное решение
позволяет точно рассчитать электромагнитное поле вблизи поверхности 2-го
порядка.
Аналогично выше изложенному,
можно получить покомпонентное представление других функций целой степени n, например, вида:
Такие решения хотя и
достаточно громоздки, но могут быть получены в конечном виде.
Описанный метод получения
3-D-решений путем
использования сложных М-функций и преобразований систем координат позволяет
получать новые преобразования и решения системы уравнений Максвелла и расширяет
возможности их точного расчета. В том случае, когда эти преобразования
обратимы, повторное применение прямого и
обратного преобразования эквивалентно единичному преобразованию. В этом случае
такое преобразование образует группу преобразований [5]. Так как предложенные
преобразования почти всегда обратимы, то они увеличивают число собственных
групповых преобразований системы уравнений Максвелла. Это позволяет
неограниченно расширять число точных решений системы уравнений Максвелла.
Литература:
1. Никольский Н.Н. Электродинамика и
распространение радиоволн. – М.: Наука, 1978. – 543 с.
2. Кравчик Ю.С. Обобщение комплексных
чисел и их применение в электродинамике // Праці УНДІРТ. – 2003. - №4(36).
3. Кравчик
Ю.С. Метод введения неэлектромагнитных полей в электромагнитную теорию
Максвелла // ПраціУНДІРТ. – 2002. - №1(29). – С 52 – 57.
4. Сидоров
Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного
переменного. – М.:
Наука, 1982. – 488 с.
5.
Кравчик
Ю. С. Применение группового двумерного преобразования для получения Т- решений
однородной системы уравнений Максвелла // Mat. The science:
theory and practice 2005. V.26. Eng. Science. Pb. House. Praga, 2005 – с 31-34.
6. Фушич В.И., Никитин Ф.Г. Симметрия
уравнений Максвелла. – Киев: Наукова думка, 1983. – 200 с.