Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ВЗАЄМОДІЇ АКУСТИЧНОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ З ТОРСІОННИМ ПІДВІСОМ ГІРОСКОПА

Математичний опис пружної взаємодії акустичних полів з механічними системами в самій загальній постановці не може бути реалізованим, враховуючи чисто математичні труднощі побудови такої моделі. Деталізований опис структури процесу з одержанням розв’язку в елементарних функціях, звичайно можна реалізувати, але, як показує практика подібних досліджень, щоб мати уявлення про характер явища з достатнім ступенем достовірності, можна обмежитись вивченням і наближених (імітаційних) моделей. Таке вивчення при збереженні об’єктивності картини, цілком виправдане і дає задовільний результат за відносно невисокої трудомісткості.

Разом з тим, розширюючи круг задач і не обмежуючись вивченням впливу на механічні системи тільки акустичних полів, використовуючи комп’ютер можна, з одного боку, одночасно виконувати системний аналіз для збурюючих чинників різної фізичної природи, з другого - поглиблювати, узагальнювати та розширювати уже відомі методи асимптотичного опису явища. Надзвичайно широкі можливості відкриває чисельний аналіз, який дозволяє максимально наблизити модель до натурних умов.

За перше наближення математичної моделі дротяного торсіона розглянемо так зване хвильове рівняння. Цим рівнянням, як відомо, описуються поперечні коливання струн, поздовжні коливання стержнів, крутильні коливання валів, плоскі звукові коливання і ряд інших процесів

, (1)

де - параметр, що досліджується і являє собою, наприклад, поперечне відхилення точки струни, поздовжнє зміщення точки стержня, кут закручування валу, тиск звукової хвилі або переміщення матеріальної точки середовища, в якому розповсюджується звукова хвиля, і таке інше (рис.1.2); - час, - просторова координата, , - геометричний розмір, - коефіцієнт (швидкість поширення хвиль вздовж осі ), - зовнішня сила, віднесена до одиниці маси (струни, стержня тощо).

Застережимо надалі, для конкретності, об'єкт, що описується диференціальним рівнянням (1), іменувати струною. Вихідний стан струни, як це випливає з рівняння (1), повинен задаватися у вигляді початкової форми і початкових швидкостей усіх точок струни:

; (2)

_. (3)

Початкові умови окреслимо у вигляді двох незалежних підпрограм-функцій на Турбо-Паскалі, заголовки яких будуть мати вигляд

function YN(х:real):real; function DYN(х:real):real;

Конкретний вигляд кожної з цих функцій буде визначатися особливостями задачі, що розв’язується. Граничні умови на кінцях струни будемо вважати за такі, що належать одному з трьох типів (I, II або III роду). Для лівого кінця струни гранична умова I роду (NGL=1, рис. 2, а)

(4)

передбачає завдання закону переміщення лівого кінця струни як функції часу (умова Діріхле).

Гранична умова II роду, умова Неймана (NGL=2, рис. 3.а) -

(5)

задає поперечну силу , що прикладена до лівого кінця струни. У рівнянні (5) крім того врахована сила інерції ваги масою , закріпленої на лівому кінці струни (лівий кінець з вагою може ковзати вздовж напрямляючої, вісь якої співпадає з віссю ). - тут символізує силу натягу струни.

Гранична умова III-роду - умова Робена (NGL=3, рис.4,а)

(6)

задає переміщення точки, що пов'язана з лівим кінцем пружиною жорсткості . Тут, як і за умови (5), лівий кінець вважається зв'язаним з масою , яка ковзає вздовж напрямляючої, тобто вздовж осі .

Аналогічно для правого кінця струни . Гранична умова I роду (NGR=1, рис. 2,б) -

; (7)

II роду (NGR=2, рис. 3,б) -

; (8)

III роду (NGR=3, рис. 4,б) –

. (9)

Функції часу, що беруть участь в окреслені граничних умов, оформлюються у вигляді підпрограм-функцій, заголовки яких виглядають так

Function Yl (t:real):real;

Function Fl (t:real):real;

Function Ylk (t:real):real;

Function Yr (t:real):real;

Function Fr (t:real):real;

Function Yrk (t:real):real.

Початкові швидкості мас та , якщо вони не нульові, задаються підпрограмами типу –

Function Dym0 :real;

Function Dymm :real.

Маси та , а також жорсткість пружин і завважимо такими, що визначуються залежно від задачі, яка вирішується.

Для збільшення ступеня узагальнення, будемо вважати, що в точці на струні може бути зафіксована (або ковзати вздовж неї) маса , на яку до того ж може діяти сила . Закони зміни параметрів і в функції часу задамо підпрограмами-функціями

Function Xg (t:real):real;

Function Fg (t:real):real.

Також в залежності від варіанту Nvr.

Початкове положення маси співпадає з положенням відповідної точки струни, початкове значення швидкості цієї точки задаємо підпрограмою-функцією з таким заголовком –

Function Dyg :real.

Значення цієї функції залежить від варіанту Nvr.

Таким чином, чисельний метод, реалізований на ПЕОМ, розширює можливості розв’язання безлічі комбінацій початкових і граничних умов та для різноманітних форм збурюючих чинників.