К.ф.-м.н. Постников Б.М.

Северный государственный медицинский университет, Россия

О методах решения задач на поиск наибольшего и наименьшего значений функции

Большое значение в современном высшем образовании имеет обучение студентов решению конкретных прикладных задач. В естественных науках особую роль играют задачи на оптимизацию, которые сводятся к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на некотором числовом множестве. В учебной литературе по математике часто приводятся решения таких задач. Но объяснения решений зачастую оказываются столь краткими или невнятными, что студенты не понимают их.

В данной статье рассмотрены основные методы решения таких задач на примерах задач из области медицины. Причём объяснения решений приведены с подробными математическими обоснованиями.

1. Сначала рассмотрим случай, когда требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на некотором интервале. Под интервалом в дальнейшем будем подразумевать любой открытый промежуток (т.е. промежуток, не содержащий своих концов), причём как ограниченный, так и неограниченный. Напомним также, что критическими точками функции называют точки, в которых её производная не существует или равна нулю.

Задача 1. Реакция организма на некоторое введённое в него лекарство может выражаться в понижении (или повышении) температуры тела, кровяного давления, пульса и других физиологических или биохимических показателей. Пусть при заданной дозе лекарства степень реакции организма зависит от времени и выражается функцией , где время, прошедшее с момента введения лекарства в организм и измеряемое в часах. Найдите максимальную степень реакции организма на это лекарство и укажите момент времени, в который она достигается.

Р е ш е н и е. По смыслу задачи переменная изменяется на промежутке

. Поэтому нам надо найти значение переменной , при котором функция принимает своё наибольшее на промежутке значение. Так как при степень реакции , то остаётся исследовать функцию на интервале (.

Найдём производную . Приравняем её к нулю, т.е. решим уравнение:

Получаем корни этого уравнения и , которые являются критическими точками функции . На интервале ( лежит лишь одна из них - точка . Тогда на каждом из интервалов и ( производная (в силу её непрерывности) сохраняет знак. Найдём знаки производной в «пробных» точках из этих интервалов: , . Итак, на интервале и на интервале . Поэтому функция возрастает на интервале и убывает на интервале . Так как функция непрерывна в точке (поскольку существует производная ), то мы можем к каждому из полученных интервалов строгой монотонности функции добавить точку . Поэтому функция возрастает на промежутке ( и убывает на промежутке . Значит, для всех (кроме ) будет справедливо неравенство , т.е. в точке (и только в ней!) функция принимает своё наибольшее на луче ( значение. Найдём его: .

Итак, максимальная степень реакции организма на это лекарство равна и достигается в момент времени (и только в этот момент!), т.е. через 2 часа после введения лекарства в организм.

Заметим, что применённым к решению задачи 1 методом можно решать задачи на поиск наибольшего (или наименьшего) значения функции на интервале любого типа (ограниченном или неограниченном). Но при этом важно, чтобы на интервале имелась лишь одна критическая точка функции, а сама функция была непрерывной в этой критической точке. Причём непрерывность функции надо непосредственно проверять в тех критических точках функции, в которых её производная не существует.

2. Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти наибольшее или (и) наименьшее значение функции на некотором отрезке.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда (по теореме Вейерштрасса) она принимает в некоторых его точках своё наибольшее и своё наименьшее на этом отрезке значения. Пусть требуется найти эти значения и указать точки, в которых функция их принимает.

Заметим, что своё наибольшее (или наименьшее) на отрезке значение функция может принимать как во внутренних точках отрезка , так и в его концах и . Если функция принимает своё наибольшее (или наименьшее) на отрезке значение во внутренней точке этого отрезка, то эта точка является также и точкой локального максимума (или локального минимума) функции . Тогда (по теореме Ферма) производная не существует или равна нулю, т.е. точка является критической точкой функции .

Итак, непрерывная на отрезке функция принимает своё наибольшее и своё наименьшее на этом отрезке значения либо в концах отрезка , либо в своих критических точках, лежащих внутри отрезка . Поэтому получаем следующий простой алгоритм для поиска наибольшего и наименьшего на отрезке значений непрерывной функции.

Алгоритм:

1. Найдите критические точки функции и выберите из них те, которые лежат внутри отрезка т.е. в интервале .

2. Найдите значения функции в концах отрезка и в её критических точках, лежащих в интервале .

3. Среди полученных в пункте 2 значений функции выберите наибольшее и наименьшее. Они и будут искомыми наибольшим и наименьшим

на этом отрезке значениями функции .

Задача 2. Систолическое давление крови у пациента после введения ему некоторого гипотензивного препарата изменяется по закону , где t – время, измеряемое в часах; систолическое давление P измеряется в миллиметрах ртутного столба (мм рт. ст.). Найдите наибольшее и наименьшее систолическое давление крови у пациента на протяжении 24 часов с момента введения ему этого препарата. Укажите также моменты времени, в которых они достигаются.

Р е ш е н и е. Нам надо найти наибольшее и наименьшее на отрезке значения функции . Функция непрерывна на этом отрезке, так как она является элементарной функцией и её область определения содержит отрезок . Поэтому мы можем применить приведённый выше алгоритм.

1. Найдём критические точки функции . Для этого вычислим производную Она существует для всех действительных чисел . Приравняем её к нулю: Получаем одну критическую точку функции : . Она лежит внутри отрезка.

2. Найдём значения функции в концах отрезка и в критических точках, лежащих внутри него:

3. Наибольшим из полученных в пункте 2 значений функции является значение а наименьшим является значение . Они и будут искомыми наибольшим и наименьшим на отрезке значениями функции .

Итак, наибольшее систолическое давление крови у пациента было 200 ( в момент времени , т.е. в момент введения препарата, а наименьшее систолическое давление крови у него было 120 в момент времени , т.е. через 18 часов после введения препарата.