Сельское хозяйство/2. Механизация сельского хозяйства

 

К.т.н. Яхин С. М., д.т.н. Зиганшин Б. Г., к.т.н. Сёмушкин Н. И.,

Казанский государственный аграрный университет, Россия

РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ

 

Тонкостенные стержни открытого профиля широко применяются во всех отраслях народного хозяйства и в частности в сельскохозяйственном машиностроении. Как правило, они используются в виде кожухов шнековых и других транспортирующих устройств.

В обычной постановке дифференциальные уравнения устойчивости прямолинейной формы равновесия центрально сжатых тонкостенных стержней открытого профиля запишем на основе работ В. З. Власова в новой системе, т.е. в плоскостях  шарнирного  опертого  концевого сечения и перпендикуляра к нему

,                        (1)

где    – изгибная жесткость относительно оси, совпадающей с осью   шарнира;

 – изгибная жесткость относительно оси, которая перпендикулярна оси шарнира;

 – перемещения точек оси центров изгиба в неглавных осях сечения xz,  ;

 – угол закручивания сечения;

 – вспомогательный параметр в неглавных осях сечения;

 – геометрический фактор жесткости;

 – полярный момент инерции;

F – приложенная внешняя сжимающая сила;

 – главный  секториальный  момент инерции.

Для сечения с двумя осями симметрии,  когда центр изгиба совпадает с центром тяжести сечения,  система распадается на три отдельных не зависимых друг от друга уравнений вида [1]:

                            (2)

Принимая выражения для перемещений в виде:

                                   (3)

и подставляя их в исходные уравнения, получим

                         (4)

Первые две критические силы дают изгибные формы по­тери устойчивости, а третья соответствует изгибно-крутильной форме потери устойчивости. Первые две формы дают отлич­ные от имеющихся данных результаты, а третья дублирует имеющиеся результаты. Если профили имеют одну ось симметрии и граничные условия не совпадают с направлением оси симметрии, то в зависимости от граничных условий в плоскостях приходит­ся решать систему трех дифференциальных уравнений, соответствующие трем изгибно-крутильным формам потери устойчивости, т. к. центр изгиба не совпадает с направлением осей. Это относится и  к  стержням, не имеющим осей  симметрии.

В этом случае перемещения не всегда удается аппроксимировать функци­ями одинакового вида и задача осложняется.

Расчет таких стержней требует специальной методики интегрирования дифференциальных уравнений изгиба (2). Наи­более удобными оказываются вариационные методы [2, 3].

Описанные в выше особенности присущи расчетам на устойчивость внецентренно нагруженных стержней и рамам с элементами из тонкостенных профилей. Дифференциальные уравнения перемещений   характеризующих второе состояние стержня, принимает вид:

 ,           (5)

где    – координаты точки приложения силы,

                                     (6)

                       (7)

где    Тх, Тy – полярно осевые моменты инерции.

Система принимает наиболее существенные упрощения в том случае, когда точка приложения силы совпадает с центром изгиба сечения, т. е. когда

В этом случае система (2) распадается на три не зависи­мых уравнения:

 .         (8)

Первые два уравнения соответствуют изгибным формам потери устойчивости, а третье – крутильной форме.

Принимая выражения для перемещений в виде (3), приходим к следующим выражениям для критических сил:

                                 (9)

Первые два равенства дают критические значения сил, соответствующие изгибным формам равновесия, а третье равенство оп­ределяет силу, связанную с крутильной формой равновесия. Для стержней, которые не имеют осей симметрии или имеют одну ось симметрии, а направление шарнира не совпадает с ней, расчет становится более сложным, так как изменяются гра­ничные условия в плоскостях. Поэтому дифференциальные уравнения необходимо решать другими методами.

В предложенной постановке два первых уравнения в системе (5) сведутся к одному и система примет упрощенный вид

                        (10)

где    – полное линейное перемещение,

                              (11)

Используя выражения перемещений в принятом ранее виде

                            (12)

и подставляя их в уравнения (10), получим следующее значение критической силы

              (13)

где

          (14)

Системе (10) можно дать решение через элементарные функции. Для этого ее необходимо свести к одному уравнению, которым можно учитывать различные условия закреплений концевых сечений. Для этого необходимо  исключить из этого уравнения перемещение  и понизить его порядок, получим

   (15)

Решением этого уравнения будет

где   

   (16)

Для шарнирных опор на концевых сечениях получим уравнение

.                                              (17)

Решая которое, найдем выше полученное значение критической силы

                  (18)

где

 ,                (19)

что дублирует вторую зависимость (14).

Не представляет сложности провести учет других закреплений концевых сечений.

Литература

1. Мартьянов, А. П. Теория и расчет конструкторской надежности сельскохозяйственной техники. / А.П. Мартьянов, С.М. Яхин, С.А. Мартьянов. – Казань: Казан. гос. ун-т, 2010. – 210 с.

2. Яхин, С.М. О колебаниях и затратах энергии пружинных и сплошных балок. / С.М. Яхин, А.П.Мартьянов, С.А.Мартьянов // Международный технико-экономический журнал. – 2008. – № 3. – С. 76 – 79.

3. Яхин, С.М. К расчету валов конусных инерционных кормовых дробилок / С.М. Яхин, И.В.Максимов, С.А.Мартьянов, С.В.Яковлев // Международная конференция молодых ученых «Пищевые технологии и биотехнологии». – 2008. – С. 153 – 154.