Тищенко Л.Н., д.т.н., профессор, чл.-кор. НААНУ

Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства

имени П. Василенко

Украина, 61002, Харьков, Артёма, 44

КОЛЕБАНИЯ СЕПАРИРУЕМОЙ ЗЕРНОВОЙ СМЕСИ ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ПУЛЬСАЦИЯХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕШЕТА

Proposed approximate method of calculating the harmonic vibrations circular velocity in circular layer vibrorliquefaction grain mixture, resulting in uneven rotation of the vertical cylindrical sieve with a periodic change in its angular velocity.

Колебания зерновых смесей существенно влияют на процессы сегрегации и просеивания зёрен на решётах. Для интенсификации этих процессов нужно знать закономерности распространения колебаний от виброрешёт в массив движущейся сыпучей среды. Их позволяет определить надлежащее математическое моделирование вибрационных полей в сепарируемых зерновых смесях. Поэтому разработка прикладных теорий распространения колебаний в движущемся зерновом слое относится к актуальным задачам.

Интенсификация сегрегации зерновой смеси вследствие неравномерного вращения цилиндрического решета виброцентробежного сепаратора рассматривалась в [1,2]. Возникающие при этом гармонические колебания окружной скорости в смеси описаны в [3] с помощью функций Кельвина. К ним сводится решение одномерной краевой задачи гидродинамики в цилиндрической системе координат. Двумерное вихревое движение жидкости в гидропневмосепараторе также описывается функциями Бесселя [4]. Но учитывая то, что в производственных условиях вибросепарирования толщина зернового слоя мала по сравнению с радиусом цилиндрического решета есть возможность упростить расчёт поля скоростей, сведя его к вычислениям элементарных функций. Этим обусловлена цель данной работы.

Целью работы является построение упрощённых формул для расчёта окружной проекции скорости движения виброожиженной зерновой смеси в цилиндрическом решете при гармонических пульсациях его угловой скорости вращения. Дополнительно ставится задача определения влияния просеивания частиц на решете на колебания окружной скорости в смеси.

Для решения поставленной задачи воспользуемся дифференциальным уравнением, полученным в работе [5] из системы Навье-Стокса, дополнив его инерционным членом:

(1)

В (1) – окружная (тангенциальная) проекция скорости смеси; – радиальная координата; – время; – эффективная кинематическая вибровязкость смеси.

Постоянная определяется выражением:

в котором – коэффициент “живого сечения” решета; – радиус решета; – радиальная проекция скорости просеивания зерен через отверстия в перфорированной рабочей поверхности.

Уравнение (1) решаем при граничных условиях:

(2)

где – постоянная составляющая угловой скорости вращения решета; – амплитуда и частота гармонических пульсаций угловой скорости; – внутренний радиус зернового слоя толщиной .

Разложим окружную скорость на два слагаемых:

(3)

Учитывая (1) и (2), определение слагаемых сводим к решению двух краевых задач:

(4)

(5)

и

(6)

(7)

Решение первой из них получено в [5] и представлено в виде:

, (8)

где

С целью апробации предложенного приближённого метода расчёта, дополним (8) приближённым решением. Для этого “заморозим” в (4) переменные величины и , заменив их средними значениями:

.

Вместо (4) будем решать дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

(9)

при граничных условиях (5).

Определив корни и характеристического уравнения:

получаем общее решение (9):

(10)

в котором ; ; – произвольные постоянные. Их определяем с помощью (5). Находим:

(11)

.

Наличие формулы (8) позволяет численно определить погрешности приближённого решения (10), (11) при заданных параметрах расчёта.

Решение краевой задачи (6), (7) ищем в виде:

, (12)

где ; – комплексная функция вещественного аргумента, которая удовлетворяет уравнению:

(13)

и граничным условиям:

(14)

Решение этой задачи выражается через функции Бесселя комплексного аргумента. При оно построено в [3].

Чтобы упростить математическую модель, как прежде “заморозим” в (13) переменные и , заменив их средними значениями. Далее вместо (13) будем решать уравнение с постоянными коэффициентами:

(15)

Его характеристическое уравнение:

имеет комплексные корни:

где ; .

Для таких корней общим решением (15) является:

. (16)

В (16) – вещественные постоянные.

Подставив (16) в (14), получаем систему четырёх уравнений, из которой находим:

;

;

;

Учитывая найденные , а также (3), (8), (12) и (16), получаем формулу окружной скорости движения смеси:

(17)

В ней:

;

.

Таким образом, в результате упрощения дифференциальных уравнений движения, расчёт изменений окружной скорости в смеси по и сведён к вычислению элементарных функций.

Проанализируем результаты расчётов, к которым приводит изложенный приближённый метод. В качестве исходных данных берём: кг/м³; Па·с; м; м; ; с^-1; с^-1, . Меняем в исходных данных значения .

Результаты вычисления для трёх значений по формулам (8) и (10) записаны в табл. 1.

Таблица 1

Значения , вычисленные по двум формулам

	, м/с по (8)			, м/с по (10)
		м/с	м/с		м/с	м/с
0,0	3,5016	3,4963	3,4908	3,5016	3,4963	3,4909
0,2	3,5251	3,5200	3,5147	3,5251	3,5200	3,5148
0,4	3,5487	3,5442	3,5395	3,5487	3,5442	3,5396
0,6	3,5722	3,5688	3,5652	3,5722	3,5688	3,5652
0,8	3,5957	3,5938	3,5918	3,5957	3,5938	3,5918
1,0	3,6193	3,6193	3,6193	3,6193	3,6193	3,6193

Сравнение численных результатов показывает, что замена переменных коэффициентов их средними значениями приводит к малым погрешностям при вычислении .

Вычисленные по формуле (17) окружные скорости в различные моменты времени при разных и представлены в табл. 2.

Таблица 2

Значения , при различных и

	, м/с				, м/с
0,00	3,670	3,752	3,988	1,00	3,392	3,369	3,250
0,25	3,774	3,818	3,880	1,25	3,288	3,303	3,358
0,50	3,736	3,733	3,619	1,50	3,326	3,387	3,619
0,75	3,578	3,547	3,558	1,75	3,484	3,573	3,880

Для сравнения на рисунке, который заимствован из [3], представлены графики , рассчитанные с помощью точного решения краевой задачи в функциях Кельвина. Числа в табл. 2 попадают точками на графики на рисунке, что подтверждает хорошую точность рассматриваемого приближённого метода, когда .

Рисунок - Зависимости тангенциальной проекции скорости от времени для различных :1,2,3 - при

Значения скорости, к которым приводит формула (17) при учёте просеивания смеси через отверстия в решете, записаны в табл. 3. Расчёт выполнен при м/с и прежних остальных исходных данных.

Таблица 3

Значения , при м/с

	, м/с			, м/с
0,00	3,653	3,738	1,00	3,388	3,367
0,25	3,758	3,805	1,25	3,284	3,299
0,50	3,724	3,724	1,50	3,318	3,380
0,75	3,571	3,543	1,75	3,471	3,562

Числа в табл. 3 незначительно отличаются от соответствующих чисел в табл. 2, т.е. при небольших скоростях просеивания проходовой фракции оно мало влияет на колебания окружной скорости, вызванные неравномерным вращением решета. При возникает кориолисова сила, которая несколько уменьшает окружную скорость, но этот эффект нивелируется уменьшением толщины кольцевого слоя зерновой смеси. Поэтому в технических расчётах можно полагать .

Выводы

1. Изложенный приближённый способ, без ощутимых погрешностей, существенно упрощает расчёт колебаний окружной скорости в кольцевом слое зерновой смеси при неравномерном вращении цилиндрического решета.

2. Он позволяет вычислять окружную скорость в смеси с учётом просеивания её через отверстия в перфорированной поверхности виброрешета.

Литература

1. Бок Н.Б. Интенсификация сепарирования зерна цилиндрическими решётами / Н.Б. Бок // Земледельческая механика: Сб. науч. тр., М., 1968. – Т. 109. – С. 24-27.

2. Шуляков А.Г. Некоторые вопросы просеивающей способности цилиндрического решета, совершающего крутильные колебания в плоскости своего вращения / А.Г. Шуляков // Труды ЧИМЭСХ. – Челябинск, 1972. – Вып. 69. – С.75-80.

3. Ольшанский В.П. Колебания зерновой смеси во вращающемся цилиндрическом решете с периодическим изменением угловой скорости / В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский // Вісник ХНТУСГ: Технічний сервіс АПК, техніка та технології у сільськогосподарському машинобудуванні. – Харків: ХНТУСГ, 2010. – Вип. 106. – С. 169-175.

4. Пастушенко С.І. Математичне дослідження вихрової гідродинаміки гідропневмосепаратора / С.І. Пастушенко, М.М. Огієнко // Вісник Дніпропетровського державного аграрного університету: Сучасні проблеми землеробської механіки. – Дніпропетровськ: ДДАУ, 2009. – №2. – С. 230-235.

5. Тищенко Л.Н. К расчёту движения зерновой смеси по вертикальному цилиндрическому решету вибросепаратора / Л.Н. Тищенко, В.П. Ольшанский, С.В. Ольшанский // Вібрації в техніці та технологіях, 2009. – №2 (54). – С. 50-55.