ТАЖИН Юрий Александрович ©
Россия, г. Нижний Новгород,
НЕЧЁТКАЯ МЕРА СУГЕНО КАК ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ШЕННОНА ДЛЯ КОЛИЧЕСТВА ОБОБЩЁННОЙ ИНФОРМАЦИИ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Аннотация
В статье автор раскрывает смысл понятия
нечёткой меры, как обобщения классической вероятности и предлагает формулу для
оценки количества обобщённой информации социально-экономических систем. На
основе авторской трактовки предложенной формулы постулируется принцип
имманентной нечёткости сложноорганизованных надкибернетических систем.
Нечёткая мера, определяемая В.П. Бочарниковым [1, 2] как некоторая монотонная функция, удовлетворяющая аксиомам А.Н. Колмогорова (за исключением аксиомы счётной аддитивности), в приложениях к описанию систем организованной сложности [7] может рассматриваться как полноценный аналог (своего рода аналитическое продолжение) классической вероятности (вероятностной меры), строгое определение которой было дано в 1950-х годах советским учёным, академиком А.Н. Колмогоровым.
В свою очередь, определение вероятностной меры и система аксиом этой меры была построена Колмогоровым на основе общей теории меры, восходящей к работам известного французского математика начала ХХ века Анри Лебега [3].
Бочарников трактует понятие нечёткой меры, опираясь на работы японского учёного М. Сугено (M. Sugeno), который определял нечёткую меру gλ как нормированную функцию следующего вида [6]:
(1)
где 
= X \ А, А
Х; А –
некоторое возможное событие из непрерывного пространства событий Х.
Необходимо отметить, что все рассматриваемые gλ-нечеткие меры в зависимости от параметра нормировки
λ могут быть разбиты на классы:
– супераддитивных нечетких
мер (λ > 0) доверия;
– субаддитивных нечетких
мер (–1 < λ < 0) правдоподобия;
– вероятностных мер (λ = 0).
При этом, если h(x) – функция
распределения плотности нечеткой меры, для супераддитивных нечетких gλ-мер и Х есть непрерывное пространство, то выполняется
и следующее условие:
(2)
где 
; 
– интеграл Лебега.
Из свойства (2) следует, что для субаддитивных нечётких мер Сугено интеграл (2) больше 1, а для вероятностных нечётких мер (вероятностей) – строго равен 1.
Таким образом, приходим к выводу, что нечёткая мера общего вида (по Сугено) есть не что иное, как аналитическое продолжение вероятности в области ненулевых вещественных значений параметра нормировки. Комплексные значения параметра нормировки, очевидно, не имеют прикладного значения (т.е. физического/экономического смысла), поэтому не рассматриваются [4].
В монографии [1] В.П. Бочарников рассматривает прикладной алгоритм («алгоритм А»), который позволяет в большинстве значимых для практики случаев содержательно идентифицировать и сравнительно просто построить нечёткую меру события А. Этот алгоритм основан на использовании процедуры шкалирования по Саати, являющейся основой широко известного метода анализа иерархий.
Отметим также, что рядом независимых учёных (Лотфи Заде [8] и др.) ещё в 1970-1980-х годах метод анализа иерархий из очевидных соображений широко использовался для построения функций принадлежности дискретных нечётких множеств [4].
Опираясь на изложенные выше, имеющие строгое аксиоматическое и теоретическое обоснование представления о нечёткой мере как обобщении классической вероятности в смысле А.Н. Колмогорова, автор предлагает следующее понятие информации, обобщающее известное определение К. Шеннона [7], на случай «имманентно-нечётких» социально-экономических систем (надкибернетических систем организованной сложности с ведущим человеческим фактором).
Информация есть структурная упорядоченность элементов некоторого неопределенного (нечеткого) множества факторов, которая для произвольных систем, может быть описана функционалом (аналогом формулы Шеннона):
Inf~ = 
(3)
где Card x – мощность (кардинальное число) множества факторов {x}, существенно влияющих на развитие процесса эволюции системы организованной сложности. Интуитивно ясно, что это множество должно быть дискретно и конечно;
СN – число допустимых семантикой предметной области сочетаний множества факторов (на наш взгляд, должно выполняться соотношение вида: СN ~ Сn,k – где Сn,k – число комбинаторных сочетаний n факторов по k осмысленным комбинациям);
gi – нечеткая мера i-го «парциального» (определенного на одноточечном множестве) фактора – задаваемая на этапе экспертно-аналитической идентификации функции нечеткой меры (с помощью «алгоритма А» или аналогичного человеко-машинного алгоритма).
Математически строгое доказательство перехода от формулы Шеннона к (3),
по мнению автора, должно опираться на фундаментальный принцип (метод) математической
индукции. На основе заданного критериального соотношения, формулируется общая задача
максимизации функционала (3) при заданных исследователем условиях (ограничениях),
вытекающих из смысла поставленной задачи.
В связи с этим, несомненный
интерес представляет так называемый эффект информационно-структурного резонанса (ИСР): при построении функции нечёткой меры процесс субъективного
взвешивания объективной информации обязательно должен быть непротиворечивым –
логически транзитивным.
Математически это выражается как
выбор максимального вещественного корня характеристического уравнения |A –
λ∙E| = 0, (где А
– обратно-симметричная матрица попарных сравнений альтернатив какого-либо
уровня информационной иерархии слабоструктурированной задачи, Е – единичная матрица), достаточно
близкого к размерности матрицы А. Выбор такого корня, в
частности, предполагает проверку индекса согласованности в классическом методе
анализа иерархий Т. Саати и К. Кернса [4].
Принцип имманентной нечёткости систем организованной сложности (надкибернетических
систем) заключается в парадоксальном, с точки зрения классической (бинарной)
логики, свойстве таких систем: всегда существует возможность принятия правильного (сохраняющего устойчивость и/или
устойчивое развитие такой системы)
решение при отсутствии точных данных о свойствах внешней среды.
Данное свойство является
качественным отличием систем организованной сложности от систем более низкого
порядка (первого порядка) сложности – физических, технических, биологических.
Системы организованной сложности являются системами с неотделимой активной
(субъектной) частью и соответственно – с активными обратными связями, что
позволяет им модифицировать и даже кардинально менять организационное поведение
в ответ на изменчивость вызовов внешней среды [5].
Библиография
1) Бочарников В.П. Fuzzy-технология: математические основы, практика моделирования в экономике. СПб.: Изд-во РАН «Наука». 2001. – 328 с.
2) Бочарников В.П., Свешников С.В. Fuzzy Technology: основы моделирования и решения экспертно-аналитических задач. Киев: Эльга, Ника-Центр. 2003. – 296 с.
3) Броневич А.Г., Каркищенко А.Н. Теория нечетких мер и обобщения байесовской схемы классификации статистических данных. // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы. СПб.: Изд-во СПБГЭУ. 2001. с.25-31.
4) Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей. Рига: Зинатне. 1990. – 184 с.
5) Рузавин Г.И. Эпистемологические проблемы принятия решений в социально-экономической деятельности. //Вопросы философии. №12, 2001. – с.87-100.
6)
Sugeno M. Fuzzy Measure and Fuzzy Integral. //
Transaction of the Society of Instrument and Control Engineers. Tokyo. 1972.
v.8, №2, p.218-226.
7)
Ярушкина Н.Г.
Основы теории нечётких и гибридных систем. – М.: Финансы и статистика, 2004. –
320 с.
8) Zadeh L.A. Toward a theory of fuzzy systems. / Aspects on Network and System Theory. Holt, Reinhart, Winston, New-York. 1971, pp.209-245.
Ключевые термины
Нечёткая мера, вероятностная мера, нечёткая мера
Сугено, «алгоритм А», шкалирование по Саати, метод анализа иерархий, информация,
функционал, принцип (метод) математической индукции, эффект информационно-структурного резонанса, принцип имманентной нечёткости
систем организованной сложности.