М. П. Ленюк

Чернівецький факультет НТУ”ХПІ”

Гібридне інтегральне перетворення типу Лежандра-

-Фур’є -Ейлера на полярній осі r ≥R₀ >0

Запровадимо методом дельта-подібної послідовності інтегральне перетворення, породжене на множині

гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(1)

Тут –одинична функція Гевісайда [1], -узагальнений диференціальний оператор Лежандра [3], -диференціальний оператор Ейлера другого порядку [2], - диференціальний оператор Фур’є другого порядку [2].

Означення. Областю визначення ГДО M назвемо множину G вектор-функцій g(r)={g₁ (r); g₂ (r); g₃ (r)} з такими властивостями:

1) вектор-функція ={неперервна на ;

2) функції задовольняють крайові умови

, , (2)

3) функції задовольняють умови спряження

, (3)

Умови та коефіцієнти:

Визначимо числа

вагову функцію

(4)

та скалярний добуток

(5)

Нагадаємо, що з умов спряження (3) випливає базова тотожність: для та має місце рівність

(6)

для випадку, коли умови спряження неоднорідні, тобто

(7)

Якщо умови спряження однорідні , то в правій частині (6) відсутній другий доданок:

(8)

Методом інтегрування два рази частинами під знаком інтегралів з послідуючим використанням крайових умов (2), базової тотожності (8) та структури встановлюється рівність

(9)

Рівність (9) показує, що ГДО -самоспряжений оператор. Отже, його спектр дійсний. Оскільки ГДО має на множині одну особливу точку , то його спектр неперервний [4]. Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає дійсна спектральна вектор-функція

(10)

При цьому функції повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

(11)

крайові умови (2) та умови спряження (3).

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра складають функції та [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції та ; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є складають тригонометричні функції та [2].

Якщо, скориставшись фундаментальною системою розв’язків, покласти

(12)

то крайова умова в точці та умови спряження (3) для визначення шести величин дають однорідну алгебраїчну системи з п’яти рівнянь:

(13)

В алгебраїчній системі (13) беруть участь функції

Алгебраїчна система (13) сумісна. Побудуємо її розв’язок стандартним способом [5].

Нехай , , де підлягає визначенню. Перше рівняння системи (13) стає тотожністю. Для визначення величин отримуємо алгебраїчну систему:

(14)

Визначник алгебраїчної системи (14) обчислюється безпосередньо:

Алгебраїчна система (14) має єдиний розв’язок [5]:

(15)

При відомих для визначення одержуємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

(16)

Визначник алгебраїчної системи обчислюється безпосередньо:

Алгебраїчна система (16) має єдиний розв’язок [5]:

(17)

Підставивши визначені за формулами (15) та (17) величини у рівності (12), отримуємо функції:

(18)

Згідно формули (10) спектральна вектор-функція стає відомою (визначена).

Наявність вагової функції , спектральної вектор-функції та спектральної щільності

дає можливість визначити пряме та обернене гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на множині ГДО [6,7]:

(19)

(20)

Математичним обґрунтуванням правил (19), (20) виступає твердження.

Теорема 1 (про інтегральне зображення). Якщо вектор-функція

неперервна, абсолютно сумовна й має обмежену варіацію на множині , то для будь-якого справджується інтегральне зображення:

(21)

Доведення: В основі доведення теореми знаходиться подвійний невласний інтеграл

(22)

якщо , і дорівнює нулю, якщо .

Формула (22) встановлюється методом дельта-подібної послідовності (ядро Діріхле).

Припустимо, що функція

(23)

Помножимо рівність (23) на вираз та проінтегруємо по від до . Внаслідок рівності (22) будемо мати:

(24)

Якщо тепер підставити в (23) згідно рівності (24) функцію

то одержуємо інтегральне зображення (21).

Доведення теореми завершено.

Зауваження. Якщо функція кусково-неперервна, то ліву частину в (21) треба замінити на

Введемо до розгляду величини та функції:

Теорема 2 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція

неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови

(25)

та умови спряження

(26)

то має місце основна тотожність ГІП ГДО :

(27)

Доведення проводиться за логічною схемою доведення ідентичних теорем [6,7].

Одержані правила (19, (20) та (27) складають достатньо ефективний математичний апарат для одержання інтегрального зображення точного аналітичного розв’язку алгоритмічного характеру широкого класу стаціонарних і нестаціонарних задач математичної фізики неоднорідного середовища. Крім цього, дане інтегральне перетворення можна використати для обчислення невласного інтегралу за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (1).

Зауважимо, що без залучення нових ідей, можна поширити гібридні інтегральні перетворення на будь-яку скінченну кількість точок спряження в будь-якій комбінації (в будь-якому сполученні) диференціальних операторів Фур’є, Ейлера та Лежандра.

Література:

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальний курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальних уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

3. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

4. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка,

2004. – 348с.

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

6. Ленюк М.П. Гібридні інтегральні перетворення типу Ейлера-(Фур’є, Бесселя). – Львів, 2009. – 76с.-(Препринт/ НАН України. Інститут прикл. проблем механ. і матем. ім. Я.С. Підстригача; 02.09). Чернівці: Прут, 2009.

7. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Ейлера, Бесселя, Лежандра). Частина 2. – Тернопіль: Економічна думка, 2011. – 384с.