Лебедев Е.П., Веренич И.А.

Белорусский национальный технический университет, г. Минск

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ РАСХОДОМЕРА

Гидромеханика является наукой о жидкостях, о её свойствах и взаимодействии с другими жидкими и твёрдыми телами, полностью или частично погруженными в жидкость. Сложность и многообразие задач требуют постоянного совершенствования методов их решения. Важную роль в этом направлении играет математическое моделирование. С помощью математических моделей появляется возможность более детального исследования того или иного процесса и выбора оптимального решения.

В данной работе рассматривается корреляционно-регрессионный анализ и его применение в гидромеханики. Исследования основывались на данных, полученных по эксперименту.

В отличие от функциональной, корреляционная зависимость не является строго определенной, так как кроме исследуемого параметра, на функцию влияют и другие факторы. Тем не менее, общая закономерность изменения функции прослеживается четко, хотя и не строго.

В зависимости от количества рассматриваемых факторов корреляционно-регрессионный анализ подразделяется на парный и многофакторный.

Парный корреляционно-регрессионный анализ устанавливает связь между двумя (парой) факторами: , многофакторный – между n факторами, один из которых – зависимый, а остальные – независимые: .

Парные зависимости подразделяются на линейные и нелинейные. Нелинейные зависимости лучше описывать параболами различного порядка

, где P-порядок параболы.

Неизвестные параметры рассчитываются по методу наименьших квадратов, сущность которого состоит в том, что сумма квадратов отклонений расчетных значений от фактических есть величина минимальная.

Имеем функцию нескольких переменных.

Коэффициенты b_i находятся из системы нормальных уравнений:

Из указанной системы уравнений методом последовательного исключения находятся коэффициенты _251658240. Порядок параболы p устанавливается путем последовательного рассмотрения парабол, начиная со второго порядка. Процесс увеличения порядка параболы идет до тех пор, пока остаточная сумма квадратов не станет меньше 1 или среднеквадратическое отклонение не станет наименьшим:

После определения коэффициентов b_i проверяется теснота криволинейной связи между y и x. Теснота криволинейной связи определяется по корреляционному отношению

где

Чем ближе h к единице, тем теснее криволинейная связь между исследуемыми случайными величинами. Если h = 0, то между y и x корреляционная связь отсутствует.

Для проверки согласованности полученных зависимостей с данными эксперимента используется статистика Стьюдента t. Для этого вычисляем значение t:

и сравниваем его с табличным значением .

Если вычисленное значение

где – табличное значение статистики Стьюдента, то корреляционная связь между рассматриваемыми y и x отсутствует. В противном случае полученная модель является согласованной с данными эксперимента и может быть рекомендована для практического применения.

Согласованность построенной зависимости с данными эксперимента можно осуществлять и по критерию Фишера:

С помощью данного критерия проверяется гипотеза H₀: .

Если

где – критическое значение распределения Фишера, соответствующее уровню значимости a, порядку p и числу степеней свободы , то нулевая гипотеза H₀:  отвергается, т.е. считается, что построенная парабола порядка P согласуется с данными эксперимента.

В противном случае считается, что парабола не согласуется с данными эксперимента.

Если построенное уравнение хорошо согласуется с данными эксперимента, переходим к следующему этапу – проверке значимости коэффициентов b_i. Значимость коэффициентов b_i проверяется с помощью статистики t¢:

где – среднеквадратическое отклонение для коэффициента b_i;

где – элементы матрицы , стоящие на пересечении i-й строки и i-го столбца (диагональные элементы матрицы ).

Если вычисленное значение взятого по таблице, то коэффициент b_i – значимый.

Если

то коэффициент b_i – несущественный и может быть исключен из уравнения регрессии.

Доверительные интервалы для коэффициентов b_i определяются следующим образом:

.

Установлено, что зависимость расхода жидкости от частоты электрического сигнала, поступающего в датчик, имеет линейную зависимость вида:

Q=0.0005f-0.0074, R=0.99

Зависимость расхода жидкости через трубопровод от времени заполнения бака имеет нелинейную зависимость вида:

Q=11.709x^-1.0073, η=0.98

Приведенные модели хорошо описывают данные эксперимента и рекомендуются для практического использования. Совместное влияние указанных факторов на исследуемую величину Q может быть описано многофакторной моделью вида:

Q=-0.013+0.0005f+0.0001t, R=0.99

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.:Сов. радио, 1972,-400с.

2. Монахов В.М. Методы оптимезации. М.:Просвещение, 1978,-342с.