к.ф.-м.н. А.И. Долгарев

КВАЗИЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ РАЗЛИЧНОГО ТИПА

Рассматриваются группы вращений правильных многоугольников. Геометрический смысл элементов группы способствует простому выявлению свойств этих групп. Получены квазициклические группы нескольких типов. Им соответствуют группы корней из единицы различных типов.

1. Группы вращений и квазициклические группы.

Правильный вершинник, , вписывается в окружность. Если , , , то существуют правильные и вершинники, вершины которых являются подмножествами вершин правильного вершинника. При четном имеется разложение и существует два различных вершинника, вершины которогоявляются вершинами вершинника. В этом случае можно рассматривать 2-вершинники. Каждый 2-вершинник есть отрезок с двумя вершинами и одной стороной. В частности из вершин 6-вершинника можно составить два различных 3-вершинника и три 2-вершинника – это диагонали 6-вершинника, множества противоположных вершин. Обозначим вершины цифрами. Имеем 6-вершинник 123456. Из его вершин составляются 3-вершинники 135 и 246; 2-вершинники: 14, 25, 36. 4-вершинник 1234 распадается на два 2-вершинника: 13 и 24. Вершины вершинника распадаются на вершинников. Если и (числа и взаимно просты), то имеется вершинников и вершинников. Между соседними вершинами вершинника находится вершин вершинника, т.е. вершин разных вершинников.

Существует группа вращений правильного вершинника. Она состоит из поворотов вершинника вокруг его центра. Центральный угол вершинника равен . Композиция двух поворотов вершинника есть поворот вершинника. Группа циклическая. Порождающим элементом группы является поворот на угол . Поворот можно представить циклом

= (1 2 3 … )

длины . Если число составное, , то поворот осуществляется на угол . Этот поворот является порождающим в группе вращений правильного вершинника, т.е. . Поворот порождает подгруппу .

Циклическая группа состоит из подстановок , кратных циклической подстановки :

=;

есть генетический код группы , нейтральный, т.е. нулевой элемент группы. Группа порождается всяким своим элементом го порядка. Количество порождающих элементов группы равно –значению функции Эйлера от ; это количество чисел, меньших и взаимно простых с . Для взаимно простых множителей : ; а если простое число, то .

Например, при имеется = и группа содержит два порождающих элемента : . Элемент имеет порядок 2: . Элемент имеет порядок 3, =

. Циклическая группа 6-го порядка является прямой суммой циклических групп 2-го и 3-го порядков

= .

Группа является расщепляемым расширением группы с помощью группы =. При порождающими являются циклы 9-го порядка . Группа содержит элементы 3-го порядка и циклическую подгруппу . Вместе с нулевым элементом исчерпываются все элементы группы :

.

Подгруппа не выделяется прямым слагаемым в разложении группы и является нерасщепляемым расширением циклической группы до циклической группы .

1. Лемма. Если абелева группа есть прямая сумма циклических подгрупп, , то группа является циклической.

# Существует правильный вершинник и правильные и вер-шинники, вершины которых совпадают с вершинами вершинника. Поворот вершинника вокруг его центра на угол = является порождающим группы . Имеем:

это поворот вершинника на угол . В подгруппу входят повороты вершинника на углы

. (1)

В подгруппу входят повороты вершинника на углы

. (2)

Общим элементом подгрупп и является только тождественный поворот и он же поворот на угол , . Из группы задействовано поворотов из . Поворот , порождающий группу , является суммой поворотов, кратных и . Существуют целые числа , что

,

в другой записи , или – это линейное представление наибольшего общего делителя чисел , известное в теории чисел, т.к. . Значит, всякий поворот вершинника является суммой некоторых поворотов и вершинников. Вместе с поворотами (1) и (2) группа исчерпывается поворотами вершинника. Поэтому = . #

Например, . Имеем диофантово уравнение . Его решение находится из сравнений : . Сравнение умножаем на :

, или ,

т.е. .

2. Лемма. Если циклическая порядка группа, то она является нерасщепляющимся расширением циклической подгруппы порядка .

# Циклическая группа обладает максимальной подгруппой порядка . В группе вращений правильного вершинника существует подгруппа порядка , она порождается поворотом вокруг центра на угол . Группа содержит

поворотов порядка . Порядок группы можно выразить через и :

.

Это означает, в частности, что вне подгруппы в группе нет элементов порядка . С другой стороны, подгруппа группы , имеющая порядок , содержится в подгруппе , [1, с. 55, сл. 4.2.2]. Следовательно, группа является нерасщепляющимся расширением группы . #

Доказанная лемма 2 объясняет существование квазициклической группы типа . Она порождается элементами с кодом

, (3)

см. [2, с. 26]. Указанные подгруппы составляют цепь

. (4)

Укажем, как строится расширение циклической группы посредством циклической группы , при условии, что получается циклическая группа . Как и выше, считаем, что , .

3. Теорема. Для любых двух циклических групп порядков и существует схема построения циклической группы порядка .

# 1. . Существует правильный вершинник, он содержит правильные и вершинники, имеется вершинников. Вершины одного из вершинников обозначим 1,2,…,; вершины остальных вершинников обозначим . Записываем цикл

.

Порядок циклической подстановки равен . Группа состоит из подстановок . Имеется циклических подстановок , остальные подстановки являются произведениями циклов меньшей длины. Подстановка и кратные ей , состоят из циклов длины . Циклы этих подстановок перемещают вершины угольника, каждый вершинник отображается поворотами сам на себя. Подстановка имеет вид

.

2. . Правильный вершинник содержит правильных вершинников. Вершины одного из них обозначим , вершины оставшихся вершинников обозначим . Записываем цикл

.

Группа состоит из подстановок , причем из них имеют порядок . Подстановка имеет порядок ,

.

Подстановка имеет порядок , является произведением циклов длины . Подстановка порядка содержится в подгруппе порядка . #

Например, . Имеются 5-вершинники 12345, и . Подстановка такова . Подстановка 5-го порядка есть = (12345)()(). Еще подстановки 5-го порядка: . Имеем прямую сумму .

2. Другие квазициклические группы

Элементы группы имеют конечные порядки. Квазициклическую группу типа задают бесконечной цепью циклических подгрупп (4) с кодом (3). Можно изменить цепь подгрупп, соответственно изменив код группы. Группу можно задать элементами с кодом

; (5)

в этом случае имеется бесконечная цепь циклических подгрупп

. (6)

Цепь (4) неуплотняема. Если , то группа обладает максимальной подгруппой с условием . Цепь (6) может быть уплотнена

,

что влечет изменение кода (5):

Будем говорить, что код (3) включает в себя код (5). Уместно рассматривать порождающие со свойством

; (7)

в этом случае начальная подгруппа цепи имеет порядок .

4. Лемма. Для различных простых существует квазициклическая группа с кодом

, . (8)

В ней существует бесконечная цепь вложенных циклических подгрупп, в которой всякая последующая подгруппа имеет порядок, равный порядку предыдущей подгруппы, умноженной на простое число.

# Рассматриваем циклическую группу порядка . Так как , то , где , см. лемму 1 и теорему 3. По схеме теоремы 3 строим циклические и ; затем по той же схеме строим циклическую = . При этом , т.к. для элемента выполняется = = и , . Сказанное верно для . Считая, что элемент уже получен, получаем в описанной конструкции элемент ; он обладает свойством . Устремляя , получаем бесконечную группу с кодом (8).

Порождающий может быть заменен двумя порождающими и , т.к. = + и равенство заменяется двумя равенствами , . Бесконечная цепь циклически подгрупп допускает уплотнение. Действительно, рассмотрим систему порождающих элементов

. (9)

Существует цепь циклических подгрупп

. (10)

Справедлив код для порождающих (9):

, (11)

здесь использованы свойства , . В группе с цепью циклических и кодом (8) произведено уплотнение цепи до неуплотняемой цепи (10). Получена квазициклическая группа с элементами порядков и . #

Группа с кодом (8) бесконечна и периодична, всякая ее подгруппа циклическая. Она является квазициклической типа и обозначается .

5. Лемма. Квазициклическая группа является прямой суммой квазициклических групп .

# Пусть = , = . Прямая сумма содержит все подгруппы вида , . Порядки элементов групп и взаимно просты. По лемме 1, группа является циклической. Таким образом, всякая подгруппа группы циклическая, поэтому рассматриваемая группа есть квазициклическая. # Лемма 4 позволяет указать в бесконечную неуплотняемую цепь циклических подгрупп и выписать код группы.

6. Теорема. Если порядки элементов квазициклической группы есть степени простых чисел , то является прямой суммой квазициклических групп типа , .

# Как всякая абелева группа, группа является прямой суммой примарных абелевых групп: = , где группа состоит из элементов порядков . Всякая подгруппа группы циклическая, подгруппы групп входят в циклические подгруппы группы , т.е. все подгруппы групп циклические, значит, каждая из них является квазициклической. #

7. Теорема. Прямая сумма квазициклических групп есть квазициклическая группа.

# Прямая сумма содержит в качестве подгрупп только прямые суммы циклических подгрупп взаимно простых порядков, принадлежащих соответствующим . На основании леммы 1, эти суммы являются циклическими подгруппами. Следовательно, рассматриваемая группа есть квазициклическая. #

Таким образом, справедлива

8. Теорема. Для всякого конечного набора простых чисел существует квазициклическая группа.

Она называется группой типа , обозначаем ее .

9. Теорема. Квазициклическую группу можно задать системой порождающих с кодом вида (7)

и цепью циклических подгрупп

. (12)

# Утверждение доказывается по аналогии с доказательством леммы 4.#

Цепь циклических подгрупп (12) может быть уплотнена так, чтобы в коде группы каждый порождающий элемент имел числовым множителем простое число. Такую систему порождающих элементов можно получить по аналогии с неуплотняемой сетью подгрупп группы в доказательстве леммы 4.

Отметим еще следующие важные утверждения.

10. Теорема. Для натурального , имеющего каноническое разложение , существует квазициклическая группа типа .

11. Теорема. Натуральным числам соответствуют различные квазициклические группы, если в канонических разложениях чисел содержатся различные простые числа. Натуральным числам соответствует одна и та же квазициклическая группа, если в канонических разложениях чисел содержатся одни и те же простые множители, какие-то из них имеют различные показатели степени.

Приведенные утверждения верны на основе доказанных выше свойств.

3. Группы корней из 1

Квазициклическая группа типа является группой корней из 1 степеней , где натуральное. Квазициклическая группа типа позволяет рассматривать группу корней из 1 степеней .

Использование групп вращений правильных вершинников несколько упрощает теоретические рассмотрения в получении циклических расширений циклических групп.

Использованная литература.

1. Холл М. Теория групп. - М.: ИЛ, 1962.- 468 с.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. – М.: Мир, 1974. – 335с.