Долгарев А.И.

ГРУППЫ СТУПЕНИ 3.

1. КОНЕЧНЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ

ПРОСТОГО ПЕРИОДА СТУПЕНИ 3

Настоящая работа открывает цикл статей о группах ступени 3 периода . Обнаружено, что коммутант изучаемых групп абелев. Период групп больше 3. Самое малое группа порождается тремя элементами. Она изоморфна группе матриц , где поле Галуа, состоящее из элементов. Найдена неразложимая в прямую сумму группа, порожденная четырьмя элементами, коммутант которой порождается тремя элементами. Для групп получен нормальный ряд подгрупп с факторами простого порядка, у соседних подгрупп которого ступень нильпотентности уменьшается не более чем на единицу.

Ранее исследованы конечные группы ступени 2 простого нечетного периода, [1]. Среди них имеется группа наименьшего порядка – 2-порожденная группа порядка : , коммутатор порождает центр , совпадающий с ее коммутантом и подгруппой Фраттини , имеет порядок . Группа называется минимальной группой ступени 2. Всякая конечная группа простого периода ступени 2 получена из групп , [1].

Ниже рассматривается минимальная нильпотентная группа простого периода ступени 3, она имеет наименьший возможный порядок и коммутант порядка . Найдена 4-порожденная группа ступени 3 с коммутантом наименьшего порядка . Группы , используются в дальнейшем в описании групп ступени 3.

Рассматривается поле Галуа , содержащее элементов, группы матриц и группы кортежей длины элементов поля . Кортежи обозначаются греческими буквами. Удобно группы задавать операциями на множестве кортежей. Определены внешние операции умножения элементов групп на скаляры из поля . Нильпотентная группа с внешней операцией, удовлетворяющая естественным условиям, является одулем над полем , который называется сибсоном, [2], элементы сибсонов называются сибсами. Абелевы сибсоны являются линейными пространствами над полем .

Сибсон наименьшей размерности определен на группе троек в [1]:

; (1)

. (2)

Нулевой элемент есть тройка , противоположным для сибса = является .

1. Минимальная 3-ступенно нильпотентная группа простого периода

1.1. Группа кортежей . Сибсон

Конечные группы нильпотентны, [3, c. 154]. Известно, что всякая конечно порожденная группа , в частности, конечная нильпотентная группа , вкладывается изоморфно в унитреугольную группу , [3, c.157], где кольцо целых чисел.

1. ЛЕММА. Порядок матриц 3-ступенно нильпотентной группы не меньше 4.

# Согласно [3, c. 145], ступень нильпотентности группы равна , где поле. Ступень нильпотентности группы равна 3, а ступень нильпотентности группы равна 2. Значит, . # Подгруппы группы , могут иметь ступень 3, пример в п. 1.4.

2. ТЕОРЕМА. Группа кортежей , нильпотентная ступени 3, изоморфная , определяется операцией

= . (3)

# Зададим отображение

. (4)

Матрице , соответствуюет в (4) кортеж . Произведению матриц

в отображении (4) соответствует кортеж из :

.

На множестве кортежей задана операция (3), называемая сложением, в которой

= .

Из того, что группа и взаимной однозначности отображения (4), следует, что группа, отображение (4) является изоморфизмом. Группа нильпотентна ступени 3. Нулевой элемент есть , противоположный элементу равен:

= , (5)

как показывает проверка по определению (3). #

Определим на группе внешнюю операцию – умножение кортежей на скаляры из поля . Алгебраическая структура с внутренней операцией + и связанной с нею внешней операцией умножения элементов из на скаляры из кольца , называется одулем над кольцом , [4], или группой над кольцом , обозначаемой , [5, c. 104 – 105], в случае, если для любых и удовлетворяются следующие условия:

. (6)

Одуль над полем называется короче: одулем.

На группе определим сибсон .

3. ТЕОРЕМА. Следующая внешняя операция

=

, , (7)

вместе с внутренней операцией (3) определяют на группе сибсон = .

# Равенство (7) получаем, находя кратные , , кортежа . Внешняя операция на группе удовлетворяет условиям (6). Это подтверждает проверка по равенствам (3) и (7). #

Введем обозначения:

,

.

4. ТЕОРЕМА. Всякий элемент группы однозначно разлагается в сумму

= , (8)

т.е. является линейной комбинацией сибсов базиса сибсона .

# Разложение получено на основании равенств (3) и (7). #

Сибсон имеет размерность 6. Заметим, что коммутативный одуль над кольцом называется модулем над кольцом, в частности, линейным пространством над полем.

Разложение (8) означает, что на группе введены мальцевские координаты, [3, c. 159]. Мы рассматриваем конечные группы, а в [3] – конечно порожденные группы, но суть одна и та же. Множество – мальцевская база группы, в [2] называется базисом сибсона. Сибсон наименьшей размерности есть = , см. [2, c. 107], где , его базис , . Для любого сибса из выполняется (2). Это одна из модификаций формулы Ф.Холла, [6, c. 475]. Операция (6) распространяет формулу Ф.Холла на группу ступени 3.

1.2. Генетический код группы и ее нижний центральный ряд

5. ТЕОРЕМА. Группа имеет следующий генетический код:

=

.

# По (5) получаем

.

С использованием (3) вычисляем:

.

Далее находим . Это простые коммутаторы веса 2 (термин из[3, c. 135]). Простые коммутаторы веса 3 . В 3-ступенно нильпотентной группе простые коммутаторы веса 4 равны , [7, c. 174], т.е. . Т.к. есть коммутатор веса 3, то как коммутатор веса 4, любой из . Получаем генетический код группы , указанный в формулировке теоремы. #

Нижний центральный ряд группы состоит из централов

,

[3, c. 135], , , . По вычислениям в доказательстве теоремы 5 имеем:

, .

6. ТЕОРЕМА. Группа имеет порядок , период , порождающими элементами группы являются , т.е. = . Подгруппа Фраттини совпадает с коммутантом = , абелева, имеет порядок ; центр лежит в коммутанте, = , его порядок .

# Для кортежей и по (3) имеем

.

Кроме того, для и : . В сумме (3) последняя компонента зависит от первой и третьей компонент слагаемых . Следовательно, группа является 3-порожденной: = ; элементы непорождающие, термин из [3, c. 149], и = = – абелева подгруппа, см. генетический код группы , теорема 5. По (7): . Как отмечено в доказательстве теоремы 5, = . #

Группу, обладающую свойствами, отмеченными в теореме 6, называем минимальной 3-ступенно нильпотентной и обозначаем . Она изоморфна группам , .

1.3. Некоторые подгруппы больших порядков подгруппы

7. ТЕОРЕМА. Группа (и сибсон ) содержит подгруппу (и подсибсон ) ступени 2, порожденную четырьмя элементами и являющуюся прямой суммой с объединенным центром двух 2-порожденных подгрупп (подсибсонов) ступени 2 с коммутантом порядка .

# В группе рассматриваем подмножество кортежей вида . На основании (3) и (7) при имеем

+ = ;

= = , .

В результате операций (3), (7) над кортежами вида получились кортежи того же вида, следовательно, рассматриваемое множество кортежей является группой = (и сибсоном ), . В компонентах кортежа имеются слагаемые вида , но нет слагаемых вида , поэтому ступень нильпотентности сибсона равна 2.

Для кортежей видов и по (3) и (7) выполняются соответственно соотношения:

+ = ;

= = , .

+ = ;

= = , .

Соотношения являются операциями на 3-мерных сибсонах, см. (1) и (2), ступень их нильпотентности равна 2. Обозначим: = и =, причем , ; сибсоны , , изоморфны. Имеются группы и , первая содержит элементы , вторая – ; центр групп и общий. По виду выписанных операций над кортежами заключаем, что подгруппы , в группе составляют прямую сумму = с объединенным центром, то же верно и для сибсонов: =. #

8. ТЕОРЕМА. Группа (и сибсон ) содержит подгруппу (и подсибсон ) ступени 1, порожденную четырьмя элементами: 6-мерный сибсон содержит 4-мерное линейное пространство над полем .

# Кортежи вида в (3) перестановочны. =. #

Группу, порожденную элементами, обозначаем . Условимся ступень нильпотентности группы обозначать левым верхним индексом над . Группа есть , группа теоремы 7 есть и группа теоремы = – абелева 4-порожденная. Группа обладает и следующим нормальным рядом с циклическими факторами. 9. ТЕОРЕМА. Группа обладает следующим нормальным рядом с циклическими факторами

=; (9)

причем = ряд элементарной абелевой группы ; ряд (9) группы начинается подгруппами, ступень нильпотентности которых понижается на единицу, затем уменьшается число порождающих. Ряд (9) не является центральным.

# Нецентральность ряда (9) обусловлена порождаемостью его подгрупп. Ряд нормальный, так как , . #

1.4. Группы сдвигов

Правый сдвиг элементом на группе определяется равенством:

= ,

где произвольный элемент группы.

10. ЛЕММА. Формулы правого сдвига элементом на группе есть

.

Формулы левого сдвига элементом на группе таковы

.

# Формулы правого сдвига элементом записаны по равенству (3). Формулы левого сдвига группы элементом получаем по равенству . #

11. ТЕОРЕМА. Группы сдвигов и нильпотентны ступени 3 и представляются подгруппами нижнетреугольной группы .

# Матрицы сдвигов записываются по их формулам, так как эти формулы линейны:

, . #

Тем самым, нильпотентная группа ступени 3 представлена матрицами 7-го порядка. Наименьший порядок представления матрицами, согласно лемме 1, равен 4.

2. Минимальная группа с четырьмя порождающими

2.1. Задание группы операциями

12. ТЕОРЕМА. Группа (сибсон) простого периода , порожденная четырьмя элементами, не разлагающаяся в прямую сумму и имеющая коммутант порядка , задается операциями:

=.(10)

=

, , (11)

и представляются матрицами из .

# Операции на кортежах длины 7 записаны по операциям над кортежами длин 6 и 3. Кортежи вида составляют сибсон, изоморфный , см. (3) и (7), а кортежи вида , составляют сибсон, изоморфный , см. (1) и (2) в предисловии. Рассмотрим равенство , постоянный кортеж, произвольный кортеж и . По операции сложения (10) напишем соотношения в компонентах кортежей:

; этим соотношениям соответствует матрица ; матрицу запишем по виду матрицы .

, .

Произведение матриц и имеет тот же вид,

.

В содержится нейтральный элемент , вместе со всяким элементом содержится ему противоположный . Значит, сложение (10) определяет на множестве кортежей группу, операция (11) совместно с (10) определяет сибсон . #

2.1. Свойства группы

13. ТЕОРЕМА. Группа ступени 3 (и сибсон ) периода с операциями (10) и

(11) порождаются четырьмя элементами:

.

в своем генетическом коде содержит только следующие ненулевые коммутаторы

.

# К этому приводят вычисления по операции (10). #

14. ТЕОРЕМА. Группа = и сибсон с операциями (10) и (11) имеет коммутант наименьшего возможного порядка , как и коммутант группы . Подгруппа Фраттини совпадает с коммутантом = , абелева; центр лежит в коммутанте, = , его порядок . #

Группы вида с операцией (10) называются минимальными группами ступени 3; это неразлагающиеся в прямую сумму группы с коммутантом порядка .

Нормальный ряд вида (9) нильпотентной группы называется ее Nil-рядом, каждый последующий элемент ряда имеет ступень нильпотентности на 1 меньше, чем предыдущий, или, в противном случае, уменьшается на 1 количество порождающих элементов. 15. ТЕОРЕМА. Nil-рядом группы является

= ; (12)

при этом

= = . (13)

# Кортежи составляют подгруппу в , изоморфную группе , операции на которой в компонентах, кроме четвертой, совпадают с (3) и (7). Таким образом, имеем включение (13). Оно продолжено Nil-рядом (9) до Nil-ряда (12). #

16. ТЕОРЕМА. Группа матриц вида из есть группа правых сдвигов группы .

# Доказательство этого факта лежит в основе доказательства теоремы 12. #

Литература

1. Долгарев А.И. Описание конечных нильпотентных групп степени 2 простого нечетного периода.// Известия вузов. Математика. – 2008. № 12. – С. 17 – 27.
2. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005. – 306с.
3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 3-е изд. – М.: Наука, 2982. – 288с.
4. Сабинин Л.В. Одули как новый подход к гнометрии со связностью.// ДАН СССР – 1977. № 5. – С. 800 – 803.
5. Общая алгебра. Т.1./ Под ред. Л.А. Скорнякова. – М.: Наука, 1990. – 592.
6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, главы I – III. – М.: Мир, 1976. – 496с.
7. Холл М. Теория групп. – М.: ИЛ, 1962. – 468с.