А. И. Федотов д.т.н., С.К. Лисин к.т.н.

СПб государственный политехнический университет, СПб национальный минерально-сырьевой университет «Горный», Россия

АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

РЕЖИМОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Для контроля физико-механических свойств материалов изделий сложной формы, а также для контроля параметров движущихся изделий представляется целесообразным использовать средства, реализующие режимы периодического взаимодействия с объектами измерений. В вибрационных, виброконтактных, виброударных системах информация о свойствах материалов определяется параметрами периодических режимов самой измерительной системы.

Например, виброконтактные устройства воспроизводят периодические режимы в диапазоне низких частот механических колебаний, что обеспечивает возможность их использования для контроля неподвижных и движущихся изделий. Так для контроля локальной жесткости изделий из металлов, а также изделий из других видов материалов, имеющих широкий диапазон значений модуля упругости, целесообразно использовать виброконтактный преобразователь по патенту 2016374 РФ [1,2]. Рассматриваемые подвижные системы виброконтактных устройств имеют нелинейную динамическую характеристику, обусловленную существенным различием жесткости упругого подвеса измерительного органа в зоне и вне зоны его контакта с поверхностью изделия [3,4,5]. Расчетная схема одномерной виброконтактной системы (рис. 1) содержит рабочий орган, схематизированный в виде поступательно движущейся подпружиненной массы, соударяющейся с поверхностью измеряемого тела.

Рис. 1. Схема измерительной системы

На схеме (рис.1) приняты обозначения:– координата, отсчитываемая от положения равновесия, и масса измерительного стержня соответственно; , - жесткости упругого подвеса и измеряемого тела; - зазор между измеряемой поверхностью и равновесным положением измерительного стержня. При этом выражение несимметричной упругой (билинейной) характеристики при односторонней упругой связи имеет вид

(1)

где – безразмерная координата (); – относительная жесткость ().

Уравнение вынужденных колебаний билинейной системы запишем в виде

, (2)

где η, ξ, τ – амплитуда возбуждения колебаний, коэффициент расстройки частоты, безразмерное время соответственно.

В соответствии с методом гармонического баланса решение (2) записывается в виде

, (3)

где и - смещение центра и амплитуда колебаний, .

Уравнение , соответствующее координате системы = 1и фазовому параметру имеет вид

. (4)

При этом

.

Система трансцендентных уравнений для определения искомых переменных , и методом гармонического баланса имеет вид

, (5)

₍₆₎

. (7)

Замкнутая нелинейная система (5), (6), (7) устанавливает аналитическую зависимость жесткости в неявном виде. Выразим χ² в виде функционала

, (8)

где c₁= 1 - ; ;

- соответствует безразмерному времени контактирования измерительного наконечника с поверхностью объекта контроля.

С точки зрения обоснования метода виброконтактного измерения жесткости является необходимым получение зависимости жесткости χ() с помощью решений системы (5), (6), (7), (8), так как смещение центра колебаний характеризует изменение амплитуды выходного сигнала преобразователя при изменении физико-механических свойств контролируемых объектов.

Рассмотрим неопределенность процедуры оценки жесткости. Под неопределенностью понимается мера доверия к результату измерения. Жесткость χ является функцией следующих параметров: η, ξ, ψ₁, s₀. Среди них параметр s₀ непосредственно измеряется и определяется выходной ЭДС преобразователя. Следовательно, неопределенность этого параметра носит характер статистической погрешности и определяется через среднее квадратическое отклонение. В рассматриваемом случае параметры η, ξ устанавливаются и неопределенности их установки носят характер систематической погрешности. Необходимо отметить неопределенность фазового параметра ψ₁, точность установки которого должна контролироваться специальными средствами. Общая неопределенность параметра χ получается по правилу получения неопределенности косвенных измерений путем переноса неопределенностей в значении параметров на неопределенность искомого параметра. Таким образом, модель среднего квадратического отклонения Δ при независимой статистической связи переменных (8) имеет вид

. (9)

Выражение (9) позволяет установить косвенным способом погрешность жесткости , являющейся параметром численно решаемой нелинейной вибрационной системы. Совокупность, включающая (5), (6), (7), (8) является аналитической основой измерений жесткости в режимах периодического виброконтакта измерительного наконечника с исследуемым объектом. Неопределенность типа В относительно точности установки параметров η, ξ носит характер систематической погрешности измеряемой величины. Точность установки фазового параметра ψ₁ контролируется специальными средствами. Поэтому неопределенность типа В вычисляется как для случая однократного измерения по градуированной шкале с учетом погрешности, определяемой классом точности данного средства измерений.

Литература:

1. Патент РФ Ru– 2016374 с1. Виброконтактный преобразователь для линейных измерений/ Б.А. Глаговский [и др.]. – Опубл. 15.07.94, Бюлл. № 13.

2. Лисин, С.К. Теория и средства измерений /С.К. Лисин, А.И. Федотов. – СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2010. – 260 с.

3. Лисин, С.К. Использование теории переноса ошибок при оценке параметров нелинейных систем/ С.К. Лисин, А.И. Федотов// Научно – технические ведомости. – 2009. - № 3. - С. 181-184.

4. Федотов, А.И. Теория измерений /А.И. Федотов, С.К. Лисин, Г.С. Морокина. – СПб.: Изд-во Политех. ун-та, 2013. – 325 с.

5. Козлов В.Н. Децентрализованная стабилизация параметрических возмущенных крупномасштабных систем/ В.Н. Козлов, В.Н. Шашихин// Научно – технические ведомости. – 1996. - № 1. - С. 62-65.