И.А. Долгарев и А.И. Долгарев

ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА С РАСТРАНОМ

КАК ГАЛИЛЕЕВА ГЕОМЕТРИЯ ПОДОБИЙ

На многообразии создана структура, изоморфная одулю параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства, являющаяся растраном. Геометрия пространства с нормированным растраном есть галилеева геометрия подобий. Евклидова геометрия подобий осуществляется на пространственной составляющей галилеева пространства-времени c растраном, она некоммутативна и гиперболична, пространство является расширяющимся-стягивающимся с центром в произвольной точке. Указаны псевдоевклидовы геометрии подобий размерности 3 и 4, как пространственные составляющие галилеева пространства-времени с 2-мерным временем.

1. Растран в основе галилеевой геометрии подобий

1.1. Переносы и гомотетии многообразия

Многообразие рассматривается в двух качествах. Одно из них – многообразие с операциями, т.е. многообразие как алгебраическая структура. Другое качество – многообразие точек, на котором действуют элементы многообразия как преобразования точек. Рассматриваем 3-мерное многообразие, уже в это размерности проявляются его существенные свойства. Точки обозначаем . Многообразие преобразований множества точек обозначаем , наделяя его внутренней и внешней операциями, преобразования обозначаем , или . В частности, возможно, что и , т.е. есть аффинное пространство с линейным пространством над . Композицию преобразований называем сложением, используем символ +, рассматриваем произведение преобразований из на действительные числа, используем символ . Рассматривается многообразие как алгебраическая структура , свойства ее определяются операциями над преобразованиями, они установлены позже.

Пусть 1-мерное подмногообразие многообразия , состоящее из точек , и 2-мерное подмногообразие в , состоящее из точек . есть прямая сумма многообразий и как прямая сумма двух множеств: =. Рассматриваем два вида преобразований из , в которых подмногообразия и инвариантны. Первое из них есть преобразование , отображающее точку на точку , описываемое формулами

. (1)

Преобразование определено на компонентах точек посредством операций на поле . В инвариантно подмногообразие . Каждое преобразование вида (1) определено парой точек = . Имеем:

= .

Второе преобразование , в котором , описываемое формулами

, , (2)

число фиксировано. В инвариантно подмногообразие . Каждое преобразование вида (2) определено парой точек =. Имеем:

.

В частности, если и аффинная плоскость , то есть параллельный перенос аффинного пространства, в котором плоскость отображается сама на себя; преобразование есть гомотетия аффинного пространства с центром и коэффициентом , в котором плоскость инвариантна, всякая прямая, проходящая через , инвариантна, а всякая плоскость отображается на параллельную ей плоскость .

Матрицы и соответственно преобразований и таковы

, .

Композиция преобразований есть их последовательное выполнение. Формулы композиции преобразований можно находить в произведении их матриц, например,

= = ,

что соответствует сумме преобразований вида (1)

. (3)

1. ЛЕММА. Множество преобразований вида (1) относительно композиции является абелевой группой.

# Преобразования представлены тройками вида . Групповая операция задана равенством (3). Композиция преобразований ассоциативна. Нейтральный элемент есть ; противоположный для равен . #

Группа преобразований (1) параллельных переносов многообразия с инвариантной первой компонентой обозначается .

Матрица является масштабной. Имеем:

= = .

Матрица изменяет “масштаб” параллельного переноса (1), тем самым, используя преобразования (1) и (2), получаем внешнюю операцию на группе :

, (4)

н для нее свойства умножения векторов на действительные числа невыполняются.

Для преобразований вида (2) справедливо

= .

Так как существует единственное число , что , то имеем

, . (5)

Условимся вместо тройки писать тройку , тогда операция (5) примет вид

; (6)

числа произвольные действительные. Положим: = ; считаем:

. (7)

Множество преобразований вида

является 1-мерным линейным пространством над с операциями над векторами (6) и (7). Это линейное пространство изоморфно линейному пространству гомотетий с фиксированным центром; нейтральный элемент в : , противоположный к есть .

Используя произведение матриц, приходим к операциям на тройках из ,

трактуемых как преобразования многообразия :

,

. (8)

Внутренняя операция на некоммутативна. Выполняются соотношения:

, ,

, .

Сложение на ассоциативно. Следовательно, группа. Операция (7) является внутренней на однородном растране, [1, c. 107]. Зададим внешнюю операцию умножения преобразований из на действительные числа:

. (9)

В результате получена структура преобразований многообразия , изоморфно представленная тройками из с операциями (8) и (9).

2. ТЕОРЕМА. Структура преобразований многообразия с операциями (8) и (9) является однородным растраном.

# Oперации (8) и (9) это операции на однородном растране, см. [1, c. 107]. #

Далее растран преобразований обозначаем , его элементы называются растами.

3. ТЕОРЕМА. Если , и = параллельный перенос, то:

. (10)

# Соотношение получается на основании операции (8). #

Равество (10) означает, что всякий раст , из является гомотетией с коэффициентом на линейном пространстве . Кроме того, растран есть полупрямая сумма

= ┤

линейных пространств и – подрастранов растрана , это расширение линейного пространства линейным пространством гомотетий. Растран двухступенно разрешим. Соотношение (10) показывает, что всякий раст является либо параллельным переносом, либо гомотетией многообразия . (Вместе гомотетии и параллельные переносы называются еще дилатациями.) Аксиоматика однородного растрана содержится в [2], где построены модели растрана – арифметическая и аффинная. В [1, с. 105 – 106 и с.113] указаны растраны матриц. Значит, растран непротиворечивая структура, обобщает линейное пространство над , относится к одулям Л.В. Сабинина, [3], является одулем Ли, [1, c. 102 – 104]. Произвольный раст представляется матрицей

,

указанные матрицы составляют подгруппу в масштабной группе.

1.2. Пространства с растраном

Имеется отображение множества пар точек в растран , удовлетворяющее аксиомам Г.Вейля, [1, c. 128 – 129].

4. ЛЕММА. Паре точек и из соответствует раст

, # (11)

см. [1, c. 136]. Пространство с растраном называется ЛМ-пространством и обозначается . ЛМ-пространство обобщает аффинное пространство, относится к одулярным пространствам Л.В. Сабинина, [3]. И ЛМ-пространство является вейлевским одулярным пространством – ВО-пространством. Геометрия ВО-пространств является специфическим разделом геометрии групп Ли, использующим свои методы исследований.

Прямые ЛМ-пространства определяются по аналогии с прямыми аффинного пространства. Пусть точка, ненулевой раст. Прямая , проходящая через точку в направлении раста есть следующее множество точек :

,

[1, c. 129]. Параметрические уравнения прямой таковы

;

[1, c. 136], их можно записать в виде

; (12)

уравнения прямой экспоненциальны. Если , то прямая лежит в плоскости :

.

Это аффинная прямая ЛМ-пространства. Если точка не лежит на прямой , , то через точку проходят две прямые, параллельные прямой .

4. ТЕОРЕМА. ЛМ-пространство является гиперболическим. #

Плоскость ЛМ-пространства определяется по аналогии с плоскостями аффинного пространства . Пусть точка, независимые расты. Плоскостью называется множество точек

,

[1, c. 130]. Параметрические уравнения ЛМ-плоскости имеют вид

,

[1, c. 137]. В случае имеется аффинная плоскость ЛМ-пространства

,

[1, c. 137]. Выполняется

6. ТЕОРЕМА. Через всякую точку ЛМ-пространства проходит единственная аффинная плоскость. # Взаимное расположение прямых и плоскостей ЛМ-пространства изучается в [2, 4].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Галилеевым скалярным произведением растов и растрана называется число

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Галилеевым модулем раста называется число

(13)

Всякая точка пространства с растраном, в котором определена галилеева норма растов, имеет временную составляющую и пространственные составляющие , т.е. точка является событием, происходящим в момент времени в точке с координатами . Множество всех событий составляет многообразие , которое при введении скалярного произведения растов стало миром. Мир событий есть пространство-время с нормированным растраном. Его принято обозначать , оно называется ЕМ-пространством-временем, это галилеево пространство-время, см. определение 1. ЕМ-пространство-время обладает некоммутативной галилеевой геометрией.

Множество всех событий , одновременных с событием , является евклидовой плоскостью в ЕМ-пространстве, уравнение которой есть . Векторами плоскости являются, согласно (11): . По (13), расстояния между точками плоскости евклидовы. Теорема 6 уточняется следующим образом

7. ТЕОРЕМА. Через всякое событие проходит единственная в евклидова плоскость – это аффинная плоскость ЛМ-пространства, превратившегося в ЕМ-пространство-время . #

Геометрические свойства ЕМ-пространства-времени изложены [1, §§ 22 – 25 и глава 4], в [4, 5].

2. Галилеева геометрия подобий

2.1. Некоммутативность геометрии подобий

В основе евклидовой геометрии лежит линейное пространство параллельных переносов. Для параллельных переносов, т.е. векторов, введена евклидова норма посредством определения евклидова скалярного произведения векторов. В аксиоматике Г.Вейля построена коммутативная евклидова геометрия пространства . В геометрии пространства определены движения как преобразования, сохраняющие евклидовы расстояния между точками. Согласно Эрлангенской программе Ф.Клейна, [6], евклидова геометрия изучает инварианты группы евклидовых движений. Следующей фундаментальной группой Клейна является группа подобий. Чтобы задать все подобия, достаточно к евклидовым движениям добавить гомотетию. Расширяя группу евклидовых движений гомотетиями, получаем группу подобий. Следовательно, выполняется

8. ТЕОРЕМА. Для создания геометрии подобий достаточно рассмотреть в аксиоматике Г.Вейля геометрию группы параллельных переносов и гомотетий аффинного пространства, или многообразия .

# Галилеева геометрия подобий осуществляется как геометрия ЕМ-пространства. #

9. ТЕОРЕМА. Геометрия подобий некоммутативна.

# Основой геометрии подобий является растран – некоммутативная структура. Всякое подобие является композицией гомотетии и движения. #

10. ТЕОРЕМА. Геометрия подобий гиперболична.

# Гиперболичность геометрии является следствием ее некоммутативности. #

11. ТЕОРЕМА. Евклидово пространство подобий является пространсвенной составляющей галилеева ЕМ-пространства-времени. #

В евклидовой геометрии преобразования подобия можно не рассматривать, так как они не являются инвариантами этой геометрии, хотя внешняя операция над векторами (параллельными переносами) связана с гомотетией, см. (4). В геометрии подобий гомотетию нельзя оставить без внимания, так как она есть одно из двух видов основополагающих преобразований и без нее геометрия подобий не получится.

2.2. Геометрия евклидовой плоскости в ЕМ-пространстве

Расширение и стягивамость пространства подобий

12. ТЕОРЕМА. ЕМ-пространство-время дезаргово.

# Пусть плоскость в ЕМ-пространстве описывается уравнением , гомотетия с коэффициентом , ее неколлинеарные точки. Обозначим , , . Гомотетия отображает: , , . По теореме 3, векторы отображаются на векторы соответственно. Треугольники и гомотетичны, их соответствующие стороны параллельны. Центром перспективы треугольников является центр гомотетии, ось перспективы – несобственная прямая плоскости , содержащая несобственные точки пересечения параллельных сторон соответственных треугольников.

Пусть центр гомотетии лежит вне плоскости . Треугольник отображается на треугольник в другой плоскости. Для треугольников и , лежащих в параллельных плоскостях, терема Дезарга выполняется. Прямые ЕМ-пространства-времени проходят через центр гомотетии и имеют несобственную ось перспективы. #

13. ТЕОРЕМА. ЕМ-пространство-время является как расширяющимся, так и стягивающимся в точку. Пространственная составляющая ЕМ-пространства-времени является как расширяющейся так и стягивающейся в точку, т.е. геометрия подобий есть геометрия расширяющегося и стягивающегося пространства.

# Пусть в доказательстве теоремы 12 . В гомотетии материальные точки движутся от центра гомотетии, ЕМ-пространство-время расширяется, его пространственная составляющаяся расширяется. Если , то материальные точки ЕМ-пространства-времени движутся к центру гомотетии, ЕМ-пространство-время стягивается в точку, в центр гомотетии. Расширение и стягиваемость пространства – это механическая интерпретация геометрического преобразования: механически отображение есть движение из положения в положение . Центром растяжения и стягиваемости может быть любая точка ЕМ-пространства. #

3. Псевдоевклидова геометрия подобий

3.1. Псевдоевклидово-галилеево скалярное произведение векторов

Наряду с галилеевым скалярным произведением растов, п. 1.2, определение 1, имеется еще один вид галилеева скаля,рного произведения растов, рассмотренный в [4, п. 5.2].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Псевдоевклидово-галилеевым произведением растов и называется число

Растран с таким скалярным произведением растов обозначается , где указано количество компонент растов, произведение которых в скалярном произведении рассматривается с противоположным знаком. Имеем соответствующий модуль растов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Псевдоевклидово-галилеевым модулем раста называется

(14)

3.2. Псевдоевклидово-галилеево пространство-время

В отображении пар точек из в растран , ЛМ-пространство превращается в псевдоевклидово-галилеево ЕМ-пространство с псевдоевклидовыми плоскостями , их уравнения . Согласно (14) вводятся временные и пространственные компоненты событий . Компоненты считаются временными, галилеева временная компонента, псевдоевклидова временная. Компонента считается пространственной. ЕМ-пространство-время есть пространство-время с 2-мерным временем. Множество событий вида является в псевдоевклидовой составляющей – пространством . Независимо от вводимой нормы растов выполняется теорема 3 и соотношение (10). Поэтому справедлива

14. ТЕОРЕМА. Псевдоевклидово пространство-время подобий является псевдоевклидовой составляющей псевдоевклидово-галилеева пространства-времени . Оно является дезарговым и расширяющимся-стягивающимся во всякой своей точке. Последнее относится и к пространству-времени . #

4. Растран и пространства размерностей 4 и 5

В п. 1.1. отмечалась, что в размерности 3 многообразия специфика геометрии с растраном раскрывается полностью, [1]. В определении однородного растрана в [1, c. 107] размерность растрана произвольна, .

4.1. Растран размерности 4 и 5

Многообразие состоит из кортежей . Преобразование (1) есть

и имеем векторы: = ; преобразование (2) таково

, ,

и рассматриваются гомотетии: . В формулах и соотношениях (3) – (10) и далее теперь имеется четвертая компонента. Соответственно изменяется скалярное произведение растов, галилеева, соответственно псевдоевклидово-галилеева норма растов есть:

4-мерные растраны преобразований многообразия обозначаются соответственно и . В случае размерности 5 формулы соответственно изменяются

4.2. ЕМ-пространства размерности 4 и 5

Многообразия и с растранами преобразований , и являются каждое ЕМ-пространством-времением соответственно , и . Пространственные составляющие указанных пространств-времен есть , , – евклидово и псевдоевклидовы пространства размерности 3 и 4.

15. ТЕОРЕМА. Перечисленные пространства-времена размерностей 4 и 5 являются галилеевыми пространствами подобий, их евклидовы и псевдоевклидовы составляющие есть евклидовы и псевдоевклидовы пространства подобий. Каждое из них является дезарговым и расширяющимся-стягивающимся во всякой своей точке. #

Литература

1. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005. – 306 с.

2. Долгарев А.И. ЛМ-пространство. //Римановы пространства и методы эллиптических дифференциальных уравнений. Л.: ЛГПИ, 1986. - С. 8 – 25.

3. Сабинин Л.В. Одули как новый подход к геометрии со связностью // ДАН СССР. 1977. N5. C.800-803.

4. Долгарев А.И. ЕМ-пространства. Дис... канд. физ.-мат. наук, Красноярск: КГПИ, 1991.- 95 с.

5. Долгарев А.И. ЕМ-пространства.// Исследования по теории поверхн. в многообразиях знакопостоянной кривизны. Межвуз. сб. научн. тр. Л.: ЛГПИ, 1987.- С.17-27.

6. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований. В кн. Об основаниях геометрии, М., 1956.