Рашевський М.О.

Криворізький технічний університет

ПРО АСИМПТОТИЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО–РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Розглянемо диференціально – різницеве рівняння

. (1)

Тут x(t, e) – невідома функція, D > 0 – стале відхилення, t Î [0, L], L < ¥. Припускаємо, що для a(t, e), b(t, e) та d(t, e) мають місце зображення збіжними рядами вигляду: за степенями дійсного малого параметра e > 0. Вимагатимемо виконання наступної умови.

1⁰. Коефіцієнти a_k(t) та b_k(t) є нескінченно диференційовними на проміжку [0, L], k ³ 0.

Нехай корені характеристичного рівняння є такими, для t Π[0, L] виконується умова

2⁰. .

У такій постановці рівняння (1) без відхилення аргументу (d(t, e) º 0) розглядалося в роботі [2], де названо задачу інтегрування згаданого рівняння задачею із нестабільним спектром. Питання про асимптотичне інтегрування основної початкової задачі

(2)

для рівняння (1) вивчалося [3, 4] у припущенні стабільності спектру. У практичних застосуваннях з’являються рівняння із нестабільним спектром, зокрема інтегро – диференціальні рівняння [1]. Дане дослідження має за мету розвинення методів [3] для інтегрування рівнянь вигляду (1). Задачу (1), (2) розв’язуватимемо методом кроків.

На першому кроці (t Î [0, D]) рівняння (1) запишеться як

. (3)

Побудуємо розв’язок рівняння (3) у вигляді

(4)

де (5)

Підставивши (4), (5) у (3) та прирівнявши коефіцієнти при однакових функціях, дістанемо тотожності:

(6)

Розв’язність кожного з рівнянь системи (6) показано у [3]. Зокрема, ; оскільки внаслідок умови 2⁰ l₁(0) ¹ 0, то l₂(0) – d(0) ¹ 0, отже . Побудувавши z(t, e), знайдемо:

.

За умовою 2⁰ l₂(0) = 0. Нехай вказана функція має нуль першого порядку:

l₂(t ) = ta(t), a(0) ≠ 0. (7)

Згідно з [2], якщо f₁(0, e) = 0, то . В загальному ж випадку справджується така оцінка інтегралу, який не спрощується за умови (7), і потребує асимптотичного обчислення:

Отже, формальний розв’язок рівняння (3) міститиме від’ємні степені параметра e, на що було вказано у [2]. Повторивши міркування [2, стор. 196], переконаємось, що m – наближення, отримане із (5), (6) є асимптотичним зображенням деякого точного розв’язку рівняння (3), і справджується оцінка

,

де C – стала, що не залежить від e, k = 0, 1. Отже, на першому кроці розв’язок рівняння (3) запишеться у вигляді

(8)

або

де , C₁₁, C₂₁ – сталі, що забезпечують виконання умови , функція a_m1(t,e) є рівномірно обмеженою в околі e = 0. Таким чином, доведено теорему.

Теорема 1. Якщо виконуються умови 1⁰, 2⁰ і (7), то рівняння (1) на першому кроці має розв’язок (8).

Вважаючи побудований розв’язок початковою функцією j₁(t, e), будуємо розв’язок рівняння (1) на другому (t Î [D, 2D]) кроці. На другому кроці рівняння (1) запишеться як

Розв’язок останнього рівняння будуватимемо у вигляді

,

де , C₁₂, C₂₂ – сталі, що забезпечують виконання умови ; . Визначаючи невідомі R_1j(t, e), вимагатимемо виконання умови

3⁰. l_i (t) ≠ l_j (t - D).

Функції R_1j визначаться із рівняння вигляду (6), де необхідно замінити u(t, e) на R_1j(t, e) і врахувати праву частину останнього диференціального рівняння. Тоді , звідки випливає достатність записаної умови для обчислення R_1j.. Функція z₂(t, e) визначиться у вигляді подвійного інтеграла: .

Методом математичної індукції доводиться теорема про розв’язок рівняння (1) довільному на r – му кроці (t Î [(r – 1)D, rD]).

Теорема 2. Якщо виконуються умови теореми 1, а також умова

l_i (t) ≠ l_j (t - k D). k £ r, t Î [0, L], то на r – му кроці система (1) має розв’язок вигляду

де ; функція z_r(t,e) записуються за допомогою r – кратного інтегралу.

Література:

1. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. «Всплески» в интегродифференциальных уравнениях Фредгольма с быстро изменяющимися ядрами. // Матем. заметки. – 2009. – 85, вып. 2. - С. 163 - 179.

2. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. – М.: Наука, 1981. – 400 с.

3. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Пидченко Ю.П. и др. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – К.: Наук. думка, 1981. – 296 с.

4. Фодчук В.И., Якимов И.В. Асимптотика решений сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. // УМЖ. – 1989. – 41, № 5. - С. 652 - 658.