А.И. Долгарев

ГРУППЫ СТУПЕНИ 3. III. СТРОЕНИЕ ГРУППЫ С КОММУТАНТОМ

НАЙМЕНЬШЕГО ПОРЯДКА. ГРУППЫ С 9 ПОРОЖДАЮЩИМИ

АННОТАЦИЯ. Среди групп ступени 3 простой экспоненты ранее выделены группы с наименьшим числом порождающих. В представлении кортежами элементов поля Галуа указаны групповые операции. Теперь рассматриваются группы с увеличенным числом порождающих элементов и с тем же порядком коммутанта.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА. Нильпотентные группы ступени 3 простой экспоненты; коммутант наименьшего порядка; увеличение числа порождающих группы.

Группы простого периода с коммутантом наименьшего порядка и с наименьшим количеством порождающих элементов изучаются в [1]. Самое малое коммутант указанной группы может иметь порядок , он абелев и содержит центр, имеющий порядок . Выделены группы с коммутантом наименьшего порядка, это 3-порожденная группа = и 4-порожденная группа . Верхний индекс 3 указывает ступень нильпотентности группы. Группа не является прямой суммой групп меньшего порядка или прямой суммой с объединенной подгруппой, [1]. = и называются минимальными группами ступени 3, представляются группами унитреугольных матриц; первая изоморфна , вторая является подгруппой в и состоит из матриц вида

.

Минимальные группы изоморфны группам кортежей элементов поля Галуа простого порядка соответственно и ; групповые операции:

= , (1)

=

=.

Для минимальных групп получены Nil-ряды с циклическими факторами, ступени нильпотентности подгрупп ряда либо уменьшаются на 1, либо не изменяются, но в этом случае число порождающих уменьшается на 1; Nil-ряды не являются центральными;

,

,

здесь есть нильпотентная группа ступени с порождающими; при группа абелева. Порождающие элементы групп: , , , ; , , элемент центра. В Nil-ряду группы : подгруппа = имеет ступень 2 и состоит из кортежей ; подгруппа = состоит из кортежей , вместе с внешней операцией (4), определенной ниже, является 4-мерным линейным пространством над полем ; последующие члены ряда абелевы. В группе кортежи составляют минимальную группу .

Ниже изучается строение нильпотентных групп ступени 3 простого периода , коммутант которых имеет наименьший возможный порядок и число порождающих элементов .

Ранее, в [2], во множестве нильпотентных групп ступени 2 простого нечетного периода выделена минимальная группа и всякая группа ступени 2 простого периода может быть охарактеризована минимальными группами. Минимальная группа = на множестве кортежей из задаются операцией:

= . (2)

В [4] установлено, что период 2-ступенно нильпотентной группы не может быть равен 2, (теорема 4); период группы ступени 3 больше 3 (теорема 7). Группы периода 2 абелевы. Сформулирована

ГИПОТЕЗА, [4]. Период группы ступени больше . Группа периода есть группа, ступень которой превосходит .

Коммутант группы обозначается , центр – . Имеем: =, , , , , = =, коммутанты , , абелевы. Ранее установлены следующие факты. Нильпотентная группа ступени 3 простого периода, порожденная элементами, содержит хотябы одну подгруппу ступени 3, [3, лемма 2]. Группа является либо прямой суммой , где циклическая порядка , либо минимальной группой , [3, лемма 3]. Этим описываются группы . Строение групп с 5 и 6 порождающими элементами описывается следующими утверждениями.

[3, теорема 5]. Группа ступени 3, является одной из групп:

(а) = + – прямая сумма, – элементарная абелева порядка ;

(б) = Ů – прямая сумма с объединенным центром = = .

[3, теорема 6]. Группа ступени 3, , является одной из групп:

(а) = +;

(б) = Ů+, ;

(в) = Ů, = ;

– еще одна минимальная группа .

Ниже установлено строение групп с произвольным числом порождающих элементов и коммутантом наименьшего порядка и не содержащая подгрупп . Интересное разнообразие изучаемых групп наблюдается уже в случае 9 порождающих элементов. При этом видна схема получения групп с заданными характеристиками. Выбрав порядок групп рассматриваемого вида, на основе полученных свойств групп, можно перечислить все группы, указав их операции.

Нильпотентная группа с внешней операцией умножения ее элементов на скаляры из поля Галуа , называется сибсоном. Внешние операции на минимальных группах таковы:

; (3)

=

, ; (4)

=

, .

По виду внешней операции сибсона можно судить о ступени нильпотентности группы, на которой определен сибсон. В компонентах кортежей произведения , содержатся произведения различных компонент исходного кортежа со скалярными множителями , , и т.д., . Наличие в произведении слагаемых не более чем с множителем , или не более чем с множителем , говорит о том, что ступень нильпотетности группы равна 2, или, соответственно, 3.

1. Строение групп ступени 3 простого периода с порождающими элементами

с коммутантом наименьшего порядка

В [3] рассмотрены группы с 4, 5 и 6 порождающими элементами. Теорема 6 из [3] характеризует строение групп, не содержащих подгрупп , с количеством порождающих больше 5. Укажем некоторую детализацию.

1. ТЕОРЕМА. 3-ступенно нильпотентная группа простого периода с коммутантом порядка при имеет следующее строение:

= Ů;

где = Ů… Ů, = Ů… Ů, ;

есть прямая сумма с объединенным коммутантом минимальных 3-ступенных групп, есть прямая сумма с объединенным центром 2-ступенных групп, Ů есть прямая сумма с объединенным центром, элементарная абелева группа с порождающими элементами;

.

, , , , ,

, , , ,

, , .

Ступень нильпотентности группы далее обозначаем .

# По [4, теорема 6], период группы больше ступени ее нильпотентности, т.е. . 3-ступенно нильпотентная группа содержит хотя бы одну подгруппу ступени 3, [3, лемма 2], обозначим ее , пусть = и = . Группа = поэлементно перестановочна с группой , [3, теорема 4]. Если , то она содержит подгруппу ступени 3. По условию доказываемой теоремы, и по [3, лемма 2], = . Следовательно, Ů= есть прямая сумма 3-ступенно нильпотентных групп с объединенным коммутантом, . Если = , то = поэлементно перестановочна с . При существует в 3-ступенно нильпотентная подгруппа и т.д.. Пусть в имеется 3-ступенно нильпотентных подгрупп, , они составляют в подгруппу , являющуюся прямой суммой групп с объединенным коммутантом, = , = . Теперь , группы и поэлементно перестановочны. В случае эта группа содержит неперестановочные порождающие элементы, пусть это . Имеем подгруппу = ступени 2, = и = = . Группы и поэлементно перестановочны иŮ прямая сумма с объединенным центром. Если в имеется подгрупп ступени 2, то они составляют группу = Ů…Ů ступени 2, являющуюся прямой суммой групп с объединенным центром; Ů – прямая сумма групп с объединенным центром, . Если , то . Группа = элементарная абелева группа, поэлементно перестановочная с Ů. #

2. Группы с 9 порождающими элементами

Число записывается в виде сумм:

9 = = = = = 3 + 2 + 1 + 1 + 1 =

3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Первое слагаемое есть количество 3-порожденных 3-ступенных подгрупп, второе неединичное слагаемое, если оно есть, – количество 2-порожденных 2-ступенных подгрупп, последнее слагаемое, если оно имеется, представляется суммой единиц 1 – это количество циклических групп. В соответствии с разложениями числа 9, очевидно, выполняется

2. ТЕОРЕМА. Группа соответственно такова:

ŮŮ или ŮŮ или Ů или

ŮŮ Ů или ŮŮ или Ů или .

Порядки групп есть , . Здесь есть подгруппа Фраттини группы . #

В подтверждение в следующем разделе приводим операции на кортежах из , задающих все 3-ступенно нильпотентные группы с 9 порождающими с коммутантом наименьшего порядка , не содержащие групп .

3. Сибсоны размерности 12

Рассматривается множество кортежей над полем Галуа . Зададим на этом множестве все сибсоны ступени 3, выписывая на кортежах из операции в каждом из перечисленных в п. 2 случаев, .

1. + =

=

;

=

+ +

.

, .

2. + =

; =

.

, .

3. + =

=

;

=

.

, .

4. + =

=

;

=

.

, .

5. + =

=

;

=

.

, .

6. + =

=

;

=

.

, .

7. + =

=

.

=

.

, .

В случае 1 группа состоит из кортежей , это подтверждают операции на множестве кортежей в данном случае; на ненулевых компонентах операции совпадают соответственно с (1) и (4). Группа состоит из кортежей , а группа – из кортежей . Кортежи коммутанта и центра выписаны выше.

В случае 5 группа состоит из кортежей , группа из кортежей , группа – из и группа состоит из кортежей . Операции на для указанных кортежей совпадают с соответствующими операциями (1) – (4).

Аналогично выписываются кортежи из , составляющие минимальные группы , и абелевы группы в разложениях групп в остальных случаях, выписанных выше, в настоящем п. 3.

Рассмотренный пример дает представление о том, как на основе минимальных групп получаются 3-ступенно нильпотентные группы с коммутантом наименьшего порядка . Это частичный аналог описания 2-ступенно нильпотентных групп простой экспоненты с циклическим коммутантом в [2].

Список литературы

1. Долгарев А.И. Группы ступени 3. 1. Конечные минимальные нильпотентные группы простого периода ступени 3. Материали за IX международна научна практична конференция «Новини на научния прогресс – 2013» . Том 9. Технологии Съвременни технологии на информации. Математика. София. «Бял ГРАД-БГ» ООД, 2013. С. 50 – 59.
2. Долгарев А.И. Описание конечных нильпотентных групп степени 2 простого нечетного периода.// Известия вузов. Математика. – 2008. № 12. – С. 17 – 27.
3. Долгарев А.И. Нильпотентные группы простого периода с 4, 5, 6 порождающими и коммутантом наименьшего порядка.// Materials of the X international scientific and practical conference “Trends of modern science – 2014”. Volume 24. Mathematics. Construction and architecture. Sheffield.: Science and education LTD 2014. P. 51 – 56.
4. Долгарев А.И. Группы ступени 3 простого периода. 4. Зависимость периода группы

ступени нильпотентности. делимость (полнота) группы. // Materialy X Miedzynaro-

dowej naukowi-praktycznej konferencji “Moderni vymozenosti vedy – 2014”, Dil 31.

Matematyka. Fizyka. : Przemysl. Nauka i studia – 2014, C. 69 – 74.