Математика/1. Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння

Городецький В.В., Колiсник Р.С.

Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Юрiя Федьковича

Властивостi фундаментального розв’язку задачi Кошi для одного класу еволюцiйних рiвнянь з оператором диференцiювання нескiнченного порядку

Дана робота є продовженням [1,2], в яких побудованi класи цiлих функцiй (простори типу ), якi спадають на дiйснiй вiсi при швидше, нiж , при цьому простори типу , побудованi I.М.Гельфандом i Г.Є.Шиловим, а також простори типу , введенi Б.Л.Гуревичем, утворюють певнi пiдкласи просторiв типу ; знайдено необхiднi й достатнi умови, за яких оператор диференцiювання нескiнченного порядку коректно визначений i обмежений у просторах типу ; дослiджено властивостi перетворення Фур’є основних та узагальнених функцiй iз просторiв типу та , згорток, згортувачiв та мультиплiкаторiв.

Цi результати дають можливiсть розвинути теорiю задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з оператором диференцiювання нескiнченного порядку i початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв. Зокрема, у роботi встановлено оцiнки фундаментального розв’язку задачi Кошi (функцiї), диференцiйовнiсть (по ) функцiї як абстрактної функцiї параметра iз значеннями у просторах типу та формулу диференцiювання (по ) згортки ; iснування граничного значення вказаної згортки при у просторах типу , а також знайдено умови, за яких задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь з оператором диференцiювання нескiнченного порядку зi сталими коефiцiєнтами коректно розв’язна у певних пiдпросторах узагальнених функцiй типу , якi збiгаються з множинами початкових значень гладких розв’язкiв вказаних рiвнянь.

1. Простiр . Розглянемо монотонно зростаючу послiдовнiсть додатних чисел таку, що: 1) , ; 2) : ; 3) : i покладемо , ; . Функцiя – неперервна, парна на , монотонно зростає на i монотонно спадає на крiм того, : . За функцiєю будуємо послiдовнiсть Встановлено, що: 1) послiдовнiсть є монотонно спадною; 2) ; 3) послiдовнiсть – обмежена зверху.

Нехай – зростаюча послiдовнiсть додатних чисел, яка володiє властивостями 1) – 3). Покладемо ; . Функцiя – невiд’ємна, неперервна, парна на функцiя, яка монотонно спадає на i монотонно зростає на ; при цьому

.

Символом позначимо сукупнiсть усiх цiлих функцiй , якi задовольняють умову

: .

У просторi визначенi та є неперервними операцiї множення на незалежну змiнну, диференцiювання, зсуву аргументу. Для функцiї j Î еквiвалентними є наступнi твердження [1]:

1) : ;

2) : .

Зазначимо, що якщо покласти , де – розв’язок рiвняння – розв’язок рiвняння за умови, що – диференцiйовнi, невiд’ємнi, парнi на , зростаючi i опуклi на функцiї, то простiр збiгається з простором , який вiдноситься до просторiв типу , введених Б.Л.Гуревичем.

Сукупнiсть функцiй з простору , звужених на , позначимо символом .

Нехай – функцiя, двоïста за Юнгом до функцiï , ; – функцiя, двоïста за Юнгом до функцiï , ,

– деяка цiла функцiя. Говоритимемо, що в просторi задано диференцiальний оператор нескiнченного порядку , , якщо для довiльної основної функцiї ряд

зображає деяку основну функцiю з простору . У [2] доведено, що якщо цiла функцiя є мультиплiкатором у просторi , то у просторi визначений i є неперервним оператор диференцiювання нескiнченного порядку . Нехай – звуження оператора на . Тодi для довiльної функцiї правильною є рiвнiсть ,; тут () – пряме перетворення Фур’є, () – обернене перетворення Фур’є.

2. Еволюцiйнi рiвняння з оператором диференцiювання нескiнченного порядку у просторах типу .

Розглянемо еволюцiйне рiвняння вигляду

, (1)

де – оператор диференцiювання нескiнченного порядку, побудований за функцiєю у припущеннi, що – мультиплiкатор у просторi i .

У данiй роботi дослiдженi властивостi функцiї G(t, ×):=, яка є фундаментальним розв’язком задачi Кошi для рiвняння (1).

Основнi результати, одержанi тут, мiстяться в наступних твердженнях.

Лема 1. Функцiя при фiксованому як функцiя аргумента є елементом простору ; при цьому

,

де , , t Î (0, T], {s, t} Ì , – фiксований параметр.

Для похiдних функцiї на дiйснiй вiсi правильними є нерiвностi

,

де , s Î , n Î , , n_n(t) – розв’язок рiвняння , , , при фiксованому та .

Лема 2. Функцiя , , як абстрактна функцiя параметра iз значеннями в просторi , диференцiйовна по , при цьому

,

де – простiр топологiчно спряжений до ().

Лема 3. Нехай узагальнена функцiя – згортувач у просторi , . Тодi граничне спiввiдношення , виконується у просторi .

Лема 3 дозволяє поставити задачу Кошi для рiвняння (1). Задамо початкову умову

, (2)

де – узагальнена функцiя з простору . Пiд розв’язком задачi Кошi (1), (2) розумiтимемо розв’язок рiвняння (1), який задовольняє початкову умову (2) у тому сенсi, що при у просторi .

Основний результат роботи складає наступне твердження.

Теорема. Задача Кошi (1), (2) коректно розв’язна в класi початкових узагальнених функцiй ; при цьому розв’язок подається у виглядi

.

– сукупнiсть усiх узагальнених функцiй з простору , якi є згортувачами у просторi .

Лiтература:

1. Городецький В.В., Колiсник Р.С. Про одне узагальнення просторiв типу // Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. Вип.134. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2002. – С. 30-37.

2. Городецький В.В., Колiсник Р.С. Оператори диференцiювання нескiнченного порядку у просторах типу та їх застосування // Доп. НАН України. – 2004. – № 10. – С. 14–19.