Рашевський М.О.

Криворізький технічний університет

АСИМПТОТИЧНЕ ІНТЕГРУВАННЯ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ДВОМА МАЛИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Питання про побудову асимптотичних розв’язків лінійних систем вигляду

, (1)

досліджене у роботах [3] – [5], де побудовано асимптотику загального розв'язку системи (1). Тут x(t, e, m) – невідомий вектор; h і p – цілі невід’ємні числа, h + p ³ 1; n ´ n – матриці A(t, e, m) та B(t, e, m) мають на проміжку [0, L] рівномірні асимптотичні розвинення за степенями дійсних малих параметрів e > 0, m > 0:

.

При цьому вимагалося виконання наступної умови.

1⁰. Матриці A_kl (t) та B_kl (t) є нескінченно диференційовними на скінченному проміжку [0, L].

Принциповим було припущення про стабільність спектру граничної в’язки матриць A₀₀(t) – lB₀₀(t). У згаданих роботах доведено, що для простого власного значення l₀(t) асимптотичне зображення частинного розв'язку можна записати у вигляді

,

тобто коефіцієнти u_kl (t) та l_kl (t) записаного формального ряду не залежать від законів прямування малих параметрів до нуля. У випадку ж кратного власного значення коефіцієнти формального розв'язку визначаються по різному для випадків em ^– 1 « 1 та me ^– 1 « 1.

При наявності точок нестабільності спектру недостатньо навіть врахування співвідношення між параметрами [1, 2]. Так, підстановкою рівняння запишеться у вигляді , і жодне із співвідношень між параметрами не дозволяє безпосередньо використати метод еталонних рівнянь без додаткових перетворень.

Розглянемо перетворення системи (1), які зводять її до зручнішого для досліджень вигляду, і не потребують будь-яких обмежень на параметри. Припускатимемо надалі, що виконується наступна умова.

2⁰. B(t, e, m) º E,

де E – одинична матриця. Можна також вимагати менш жорсткої умови det B(t, e, m) ¹ 0, тобто відсутності виродження, яке в цій роботі не досліджується. Наступною підстановкою

. (2)

Із (1) дістанемо систему

, (3)

де .

Зображення матриці системи (3) запишемо у вигляді .

Справедливою є наступна теорема.

Теорема 1. Якщо виконуються умови 1⁰, 2⁰, то система (1) невиродженим перетворенням (2) зводиться до вигляду (3) із арнольдовою формою A⁽¹⁾(t, e, m) матриці A(t, e, m).

Доведення теореми принципово не відрізняється від доведення теореми 2. 5-1 із [6]. Для формулювання наступного твердження вимагатимемо виконання умови

3⁰. Матриця A₀₀(t) подібна діагональній:

T^-1(t)A₀₀(t)T(t) = L(t) = diag{l₁(t), l₂(t),¼, l_n(t)},

причому власні числа l_k(t) матриці A₀₀(t) є різними на (0, L] і збігаються при t = 0, k = 1. 2, …, n; detT(t) ¹ 0.

При виконанні умов 2⁰, 3⁰ систему (1) називають майже діагональною. Згідно з означенням [6] точка t = 0 є точкою повороту (ТП), кратність якої дорівнює максимальній із кратностей нулів функцій l_i(t) – l_j(t).

Матрицю T (t, e, m) із рівності (2) будуватимемо так, щоб справджувалась тотожність

.

Прирівнюючи коефіцієнти при e^km^l, k, l = 0, 1, 2, …, дістанемо систему рівнянь (аргумент t не записуємо):

(4)

Матриці з від’ємним індексом вважаємо тотожно нульовими. Поклавши T₀₀ = T(t), знайдемо з першого рівняння системи (4) . Після такого вибору невідомих матриць визначатимемо матриці з умови розв’язності системи (4). Нехай . Тоді друге рівняння системи (4) запишеться як

Умовою розв’язності останнього в класі неперервних функцій є тотожна рівність нулеві діагональних елементів правої частини, і перетворення в нуль позадіагональних її елементів так, що кратність нуля є не меншою від кратності ТП. Першу з умов забезпечимо вибором діагональних елементів матриці Q_kl (t) а другу – побудовою матриці , а саме: позадіагональні елементи згаданої матриці запишемо у вигляді многочлену Маклорена елементів матриці . Степінь многочлена може бути на одиницю меншою від кратності ТП. Записаними міркуваннями доводиться наступне твердження.

Теорема 2. Якщо виконуються умови 1⁰ – 3⁰, то система (1) невиродженим перетворенням (2) зводиться до майже діагональної, де елементи коефіцієнтів якої при степенях малих параметрів є поліномами степеня, що на одиницю менша від кратності ТП.

Зокрема, у випадку простої ТП згадані коефіцієнти визначаться як сталі величини.

Сформульовані твердження, звичайно, не вирішують питання побудови асимптотики розв'язку, але спрощують систему для подальших («зрізаючих») перетворень.

Література:

1. Пухначев В.В. Об одном уравнении с двумя малыми параметрами при производных. // ЖВММФ. – 1966. – Том 6, № 1. – С.  178–183.

2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1983. – 352 с.

3. Яковец В.П. Асимптотика общего решения линейной сингулярно возмущенной системы с двумя малими параметрами. //ДУ. – 1993. – Т. 29, № 2. – С. 256–266.

4. Яковец В.П. Методы возмущений в задаче асимптотического интегрирования вырождающихся сингулярно возмущенных линейных систем с двумя малыми параметрамию – Киев, 1992. – 52 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики: № 92.34).

5. Яковець В.П., Стрельніков М.А. Побудова асимптотичних розв’язків лінійних систем диференціальних рівнянь з двома малими параметрами. // УМЖ. – 2003. – 55, № 7. – С. 961–976.

6. Wasow W. Linear Turning Point Theory. – N.Y.: Acad. Press, 1985. – 246 p.