Магистрант Мухамедияров Р.М., к.ф.-м.н. Вильданова Ф.Х.

Казахский национальный технический университет К.И.Сатпаева, Алматы

Семипалатинский государственный университет им. Шакарима

Об асимптотической эквивалентности линейных дифференциальных Е-уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное Е-уравнение, т.е. уравнение с кусочно-постоянными коэффициентами, у которого совокупность значений всех коэффициентов состоит из трех элементов и с разрывами может быть лишь при целочисленных значениях аргумента

ẋ=p(t)x                                                                              (1)

где,

αR, lk = t3k+1-t3k = t3k+3-t3k+2

         lk0 = t3k+2-t3k+1, k = 0,1,2,…

Обозначим через Е∞ уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами, у которых расстояние между точками разрыва стремится к бесконечности.

В настоящей заметке устанавливается асимптотическая эквивалентность [1, 2] уравнений вида (1) и Е∞ уравнений.

Имеют место следующие утверждения.

Лемма. Для асимптотической эквивалентности уравнений

ẋ=a(t)x                                                                              (2)

и

ẏ=b(t)y                                                                        (3)

необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена.

Теорема 1. [3] Пусть последовательность (lk) ограничена, () – любая последовательность, тогда уравнения (1) и

ẏ=0                                                                              (4)

асимптотически эквивалентны.

         Теорема 2. [3] Пусть последовательность (lk) бесконечно большая, () – ограниченная последовательность.

Тогда уравнение (1) и

ẏ=q(t)y ,                                                                      (5)

где

αR, hk = T2k+1-T2k = lk+0,5 ,

          = T2k+2-T2k+1 = lk+0,5 , k = 0,1,2,…

асимптотически эквивалентны.

Теорема 3. Пусть (lk) неограниченная последовательность, которую можно разбить на бесконечно большую и ограниченную последовательности, () - произвольная последовательность. Тогда уравнения (1) и

ẏ=q(t)y                                                                        (6)

асимптотически эквиваленты, где уравнение (6) либо Е∞ уравнение, либо Е уравнение, у которого последовательность значений q=0 неограничена.

Доказательство. Разобьем (lk) на две последовательности: (hk) бесконечно большая и (mk) – ограниченная.

1)    Аналогично доказательству теоремы 1 [3] можно доказать, что уравнение (1) асимптотически эквивалентно уравнению

ẋ=p1(t)x ,

где p1(t) совпадает с p(t) на последовательности (hk) и p1(t)=0 на последовательностях (mk) и ().

2)    а) если последовательность промежутков, на которых p1(t)=0 (обозначим её (Lk)) ограничена, то по теореме 2 [3] уравнение (1) асимптотически эквивалентно Е∞ уравнению (2), где q(t){α, -α}.

б) Если последовательность (Lk) неограничена, но распадается на бесконечно большую и ограниченную, то уравнение (1) асимптотически эквивалентно Е∞ уравнению вида (6), где q(t){α, 0, -α}.

в) Если последовательность (Lk) не распадается на бесконечно большую и ограниченную, уравнение (1) нельзя свести к Е∞ уравнению, последовательность, на которой p1(t)=0 остаётся без изменения.

 

Литература:

1.     Богданов Ю.С. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных системах. Дифференциальные уравнения, 1965, 1, №6, стр.707-716.

2.     Богданов Ю.С. Метод инвариантов в асимптотической теории дифференциальных уравнений. Вестник БГУ, 1969, сер.1, №1, стр.10-14.

3.     Вильданова Ф.Х. Об асимптотически эквивалентных линейных дифференциальных Е-системах. Сборник «Функциональный анализ, дифференциальные уравнения и их приложения», Алматы, 1982, стр.33-38.