Ленюк М.П., Шинкарик М.І.

Чернівецький факультет НТУ «ХПІ»,

Тернопільський національний економічний університет

Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора

(Конторовича-Лєбєдєва) – Бесселя – Лежандра

на сегменті

Побудуємо на множині

розв'язок сепаратної системи диференціальних рівнянь (Конторовича-Лєбєдєва), Бесселя та Лежандра для модифікованих функцій

, (1)

за крайовими умовами

(2)

та умовами спряження

(3)

У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Конторовича-Лєбєдєва [1], Бесселя [2] та Лежандра [3]:

Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: , , , , , , ; , , , .

Побудуємо спочатку розв'язок крайової задачі (1) – (3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

, (4)

- одинична функція Гевісайда [4].

Оператор самоспряжений і на множині не має особливих точок. Тому його спектр дійсний і дискретний [5].

Власні елементи ГДО (власні числа й відповідні їм власні вектор-функції) знайдемо як нетривіальний розв'язок відповідної спектральної задачі Штурма – Ліувілля: побудувати на множині ненульовий розв'язок сепаратної системи диференціальних рівнянь (Конторовича-Лєбєдєва), Бесселя та Лежандра для звичайних функцій

, (5)

за однорідними крайовими умовами

(6)

та однорідними умовами спряження

(7)

Тут – спектральний параметр, ; функції , де , компоненти власної вектор-функції

(8)

ГДО , визначеного рівністю (4).

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння утворюють функції та [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння утворюють функції та [3]; .

Якщо покласти

, (9)

то крайові умови (6) й умови спряження (7) дають для визначення шести величин , алгебраїчну однорідну систему з шести рівнянь:

, (10)

Функції, які беруть участь в утворенні алгебраїчної системи (10), загальновідомі [6].

Визначимо величини та функції:

;

Алгебраїчна система (10) має ненульові розв'язки тоді й тільки тоді, коли її визначник рівний нолю [7]:

(11)

Корені трансцендентного рівняння (11) утворюють дискретний спектр ГДО [8]: різні, дійсні, симетричні відносно , на числовій пів прямій складають монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою .

Підставимо в рівняння системи (10) й відкинемо останнє рівняння в силу лінійної залежності. Систему з п'яти рівнянь, що залишилися, розв'язуємо відомим методом [7]. Підставивши обчислені , в рівності (9), маємо:

. (12)

У цих рівностях беруть участь функції:

Введемо до розгляду числа

, , ,

вагову функцію

та квадрат норми спектральної вектор-функції:

(13)

Згідно з роботою [8] маємо твердження:

1) система власних вектор-функцій ортогональна з ваговою функцією , повна й замкнена на множині ;

2) будь-яка вектор-функція з області визначення ГДО зображається абсолютно й рівномірно збіжним на множині рядом Фур'є за системою :

(14)

3) якщо вектор-функція неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3), то має місце основна тотожність інтегрального перетворення ГДО :

(15)

У рівності (15) беруть участь величини та функції:

Ряд Фур'є (14) визначає пряме та обернене скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині ГДО :

, (16)

(17)

Єдиний розв'язок крайової задачі (1) – (3), побудований за відомою логічною схемою [6], описують функції

(18)

У рівностях (18) прийнято, що

Побудуємо тепер розв'язок крайової задачі (1) – (3) безпосередньо.

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння (Конторовича-Лєбєдєва) утворюють модифіковані функції Бесселя першого роду та другого роду [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють функції Бесселя уявного аргументу та [2]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Лежандра утворюють функції та [3], .

Наявність фундаментальної системи розв'язків дозволяє побудувати розв'язок крайової задачі (1) – (3) методом функцій Коші [4,9]:

, (19)

У рівностях (19) – функції Коші [4,9]:

(20)

(21)

(22)

У рівностях (20) – (22) беруть участь функції:

;

Всі інші функції загальновідомі [6].

Крайові умови (2) та умови спряження (3) для визначення величин , дають неоднорідну алгебраїчну систему із шести рівнянь:

. (23)

У системі (23) беруть участь функції

та символ Кронекера [7] .

Введемо до розгляду функції:

;

Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності крайової задачі (1) – (3): для будь-якого ненульового вектора визначник алгебраїчної системи (23) відмінний від ноля

(24)

Визначимо головні розв'язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені крайового умовою в точці функції Гріна

, (25)

;

2) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

, (26)

;

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

;

, (27)

4) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

;

, (28)

У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (23), підстановки отриманих значень величин , у рівності (19) та низки елементарних перетворень маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1) – (3):

(29)

Нагадаємо, що , , .

Порівнюючи розв'язки (18) і (29) в силу єдиності, одержуємо наступні формули підсумовування функціональних рядів:

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

Аналіз одержаних сум функціональних рядів в залежності від параметрів здійснюється безпосередньо.

Результатом виконаного в роботі дослідження є твердження.

Теорема. Якщо вектор-функція неперервна на множині , функції задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) і виконується умова (24) однозначної розв'язності крайової задачі (1) – (3), то справджуються формули (30) – (34) підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (4).

Література:

1. Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280с.

2. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

3. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

5. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368с.

6. Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур'є, Бесселя, Лежандра). – Том V. – Чернівці: Прут, 2005. – 368с.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

8. Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228с.

9. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.