УДК 517.946

Краевая задача для уравнения смешанного параболо – гиперболического типа второго порядка с разрывными коэффициентами.

Балкизов Ж.А.

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки

Научно – исследовательский институт прикладной

математики и автоматизации КБНЦ РАН

(Россия, г. Нальчик)

Рассмотрим линейное уравнение в частных производных смешанного типа второго порядка

(1)

с коэффициентом при и равным нулю при .

Пусть конечная односвязная область евклидовой плоскости точек , ограниченная кусочно – гладкой кривой Жордана с концами в точках , лежащей в верхней полуплоскости , и характеристиками и уравнения (1), выходящими из точки и параболическая и гиперболическая части смешанной области , где ; .

Предполагается, что , где

Первая краевая задача (или аналог задачи Трикоми) для уравнения (1) в области ставится следующим образом:

Задача Т. Найти функцию из класса , удовлетворяющую уравнению (1) в областях и краевому условию

. (2)

Через обозначим дифференциальное выражение в левой части уравнения (1) и положим

Обозначим

Справедлива следующая

Лемма. Пусть . Тогда для любой функции справедливо равенство

(3)

где .

Лемма доказана с помощью метода, приведенного в [1, с. 160].

Используя сформулированную выше лемму можно убедиться в справедливости следующей теоремы единственности.

Теорема. Пусть коэффициенты уравнения (1) таковы, что существует хотя бы один вектор , удовлетворяющий условиям леммы и одному из следующих условий:

1) удовлетворяют системе дифференциальных неравенств

, (7)

, (8)

, (9)

условию сопряжения

(10)

и краевым условиям

(11)

(12)

, (13)

, (14)

; (15)

2) удовлетворяют всем условиям (9) – (15), а вместо условий (7) – (8) выполняются условия

, (16)

, (17)

3) удовлетворяют системе дифференциальных неравенств (16), (8), (9), условию сопряжения

(18)

и краевым условиям (11) – (15);

4) удовлетворяют системе дифференциальных неравенств (16), (8), (9), условию сопряжения

(20)

и краевым условиям (11) – (15);

5) удовлетворяют условиям (8) – (11), (13) – (16), а вместо условия (12) удовлетворяет краевому условию

. (21)

Тогда решение задачи (1) – (2) единственно в требуемом классе.

Литература

1. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М., Наука, 2006. – 287 с.