К.т.н Войтенко П.І., к.т.н. Врюкало В.В.

Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу, Україна

ВАРІАНТИ ВИКОРИСТАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ СПІРАЛЕЙ ПРИ КОМП’ЮТЕРИЗОВАНОМУ ПРОЕКТУВАННІ БУРОВИХ ДОЛІТ ТИПУ PDC

Шарошковим долотам властива незахищеність опорних поверхонь від проникнення промивної рідини з абразивними частинками зруйнованої породи через ненадійну їхню герметизацію, що призводить до передчасного спрацювання цих поверхонь, заклинювання шарошок і необхідної заміни такого долота з невідпрацьованим ресурсом породоруйнівних елементів. Тому все ширшого застосування набувають долота типу PDC різально-сколюючої дії з вставними твердосплавними (алмазними) елементами, які є спадкоємцями колонкових і лопатевих доліт з природними алмазами.

Аналіз відпрацювання бурових доліт типу PDC вітчизняного виробництва (наприклад долота БуГ-220-МС, [5]) свідчить, що причиною недостатньої швидкості проходки при бурінні такими долотами є нерівномірне навантаження на породоруйнівні елементи по мірі віддаленням їх від осі долота та нераціональне розміщення цих елементів на лопатях. При цьому траєкторії багатьох зубків співпадають (рисунок 1), створюючи глибокі борозни і долото не працює по всій поверхні вибою, а впирається корпусом і зависає.

Метою даної роботи є вибір методики оптимізації розміщення породоруйнівних елементів на забірній частині доліт типу PDC через використання математичних моделей спіралей з логарифмічним кроком.

Для вирішення окресленої мети ставляться наступні цілі дослідження:

1 Розглянути математичні моделі спіралей і вивчити можливості їхнього використання при комп’ютеризованому проектуванні бурових доліт типу PDC.

2 Вибрати і обґрунтувати вид математичної моделі для оптимізації розміщення породоруйнівних елементів з метою повного перекриття ними зони руйнування, забезпечивши їм рівнонавантаженість і уникнення накладання траєкторій.

Рисунок 1 – Уявні сліди переміщення зубків (пронумеровані) при обертанні долота БуГ-220МС в свердловині.

Вивчивши і дослідивши особливості ряду математичних моделей спіралей (Архімедова, Ферма, гіперболічна, логарифмічна…) встановлено [1], що при проектуванні нових моделей бурових доліт типу PDC найдоцільніше використовувати спіраль Ферма (рисунок 2), що задається на площині в полярних координатах рівнянням

(1)

де - коефіцієнт, який відповідає за величину кроку;

- радіус спіралі;

- кут повороту.

Оскільки різальні вставні елементи найбільше підлягають спрацюванню з віддаленням їх від осі обертання долота [2–4], то їх необхідно розташовувати таким чином, щоб крок між породоруйнівними елементами зменшувався до периферії, а траєкторії їх руху не накладались для забезпечення повного перекриття зони руйнування. Для раціонального розміщення твердосплавних породоруйнівних зубців на лопатях вищевказаного типу бурових доліт найдоцільніше скористатись спіраллю Ферма. Перевівши формулу (1) в декартову систему координат, отримуємо залежності (2) і (3) для визначення координат розміщення зубків у долоті.

Рисунок 2 – Спіраль Ферма

Для побудови однієї вітки спіралі система рівнянь матиме вигляд:

(2)

В подвійній спіралі друга вітка дзеркально відображає першу і отримується за системою рівнянь:

(3)

Для побудови спіралі кут приймається рівним 0 радіан і збільшується з кожним кроком на величину .

На рисунку 3 представлений варіант раціонального розміщення твердосплавних зубків на зміщених відносно осі долота шести лопатях (3 довгі та 3 короткі) з використанням спіралі Ферма. Концентрично розміщені сліди траєкторій зубків в свердловині показано на рисунку 4. Діаметри маленьких кіл на рисунках відповідають діаметральним розмірам вставних зубків в одному масштабі з діаметром долота.

Розміщення твердосплавних зубків в тілі лопатевого долота згідно запропонованої методики забезпечує перекриття зубками всієї поверхні вибою і створює можливість руйнування породи різанням або різанням-сколюванням без утворення міжзубкових виступів.

Рисунок 3 – Варіант розташування твердосплавних зубків на забірній частині шестилопатевого долота за допомогою спіралі Ферма

В процесі руйнування породи таке розміщення зубків сприяє їх однаковому силовому навантаженню і, забезпечує, відповідно, рівну стійкість від спрацювання. З віддаленням до периферії збільшується шлях різання і, відповідно, енергетичне навантаження на зубки. Але це компенсується зменшенням ширини зони руйнування кожним зубком.

Рисунок 4 – Уявні сліди переміщення зубків при обертанні долота в свердловині

Г.Фогель в 1979 році [6] для опису розміщення зерен в суцвітті соняшника запропонував модель, яка є видом Архімедової спіралі та формою спіралі Ферма, і виражається наступним чином:

(4)

де θ – кут в градусах,

r - радіус або відстань від центру,

n - номер вітки спіралі,

c - константа.

Модель Фогеля доцільно використати при автоматизованому проектуванні бурових доліт типу PDC з гвинтоподібними лопатями. При цьому, в залежності від кількості лопатей долота, необхідно при розрахунку координат розміщення зубків використовувати не всі номери віток спіралі. Для забезпечення перекриття траекторіями руху зубків поверхні вибою центр спіралі Фогеля не повинен співпадати з віссю обертання долота. Вигляд моделі Фогеля при розміщенні зубків на гвинтоподібних лопатях подано на рисунку 5.

Рисунок 5 – Варіант розміщення зубків на гвинтоподібних лопатях за моделлю Фогеля

Висновки:

1 При автоматизованому проектуванні різальної частини доліт типу PDC з метою оптимального розміщення породоруйнівних елементів на лопатях доцільно використовувати математичну модель параболічної спіралі Ферма.

2 При автоматизованому проектуванні доліт PDC з криволінійними лопатями доцільно використовувати як варіант спіралі Ферма модель Фотеля.

Література.

1. P Voitenko, V Vriukalo. Використання математичних моделей спіралей з логарифмічним кроком для раціонального розміщення вставних твердосплавних зубків на лопатях бурових доліт типу PDC. Уральский научный вестник 4 (1), 7-13

2. Дверий В.П. Бурение скважин лопастными долотами. М., Недра, 1971.

3. Britt J.T., Warren T.M. and Berh S.M. and Berh S.M. 13st Whirl: A New Theory of PDC Bit Failure, paper 19751, presented at San Antonio Texas, USA, October 8-11, 1989.

4. Willams J.L. and Thompson A.I.: An Analysis of the Performance of PDC Hybrid Drill Bits, Louisiana, USA, March 15-18, 1989.

5. Патент № 101904, Україна. ПМК⁷ Е21В 10/14. Бурова головка з генераторною схемою різання /Крижанівський Є.І., Сенюшкович М.В., Колос І.Я. – № 201201235; заявл. 07.02.2012; опубл. 11.06.2012, Бюл. №11.

6. Helmut Vogel, A better way to construct the sunflower head, Mathematical Biosciences 44 (1979), no. 3- 4, 179–182.