Сурнева О.Б.

ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», Россия

3-мерная модель и ее решения

         Предметом исследования является наличие свойства Пенлеве у дифференциального уравнения с частными производными

                         (1)

где  - постоянные,  - функция трех независимых переменных.

         Согласно [1], уравнение с частными производными имеет свойство Пенлеве, если все подвижные особые области его общего решения, если они существуют, полярны. Подвижные особые области – это такие особые области, положение которых зависит от произвольных функций интегрирования и которые не являются характеристическими. Если дифференциальное уравнение с частными производными n-го порядка для функции  имеет свойство Пенлеве, то его решение, представленное в виде ряда

                                   (2)

где , содержит две произвольные независимые между собой функций от  (их число обусловлено порядком уравнения), среди которых  и один из резонансных коэффициентов  ( - резонансные числа) [2,3].

         ЛЕММА 1. Для наличия у дифференциального уравнения с частными производными (15.1) свойства Пенлеве необходимо, чтобы соответствующее ему обыкновенное уравнение

                                       (3)

имело свойство Пенлеве.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим поведение главной части решения уравнения в окрестности подвижной особенности. Для этого представим функцию  уравнения (1) в виде .

Найдем, для какого значения N ряд (2) может удовлетворять уравнению (3), оценим степени главной части ряда Лорана, тогда подставив в исходное уравнение (3) полученные оценки имеем

,

следовательно, старшие степени будут совпадать, если , откуда  N = 1. Если бы N не являлось целым, то мы получили бы алгебраическую точку ветвления и уравнение (1) не обладало бы свойством Пенлеве. И так, решение будет иметь полюс первого порядка.

Определим, какую структуру будет иметь , для этого сравним какие члены в уравнении (1) дают старшие степени при подстановке значения , оказывается, что все члены дают -4 степень, но среди них есть три слагаемых , которые содержат производные по переменной , поэтому вид зависимости от  положим линейным и , пусть  где  - произвольная функция.

Для нахождения резонансных чисел , выполнив подстановку  в уравнение (1) получим следующие коэффициенты в левой и правой части при , которые дают следующее резонансное условие:

 .          (4)

Очевидно, что при  будем иметь в равенстве (4) тождественный нуль. Числу  отвечает произвольность функции  и  изначально выбирается произвольной. Все остальные коэффициенты ряда выражаются рекуррентно.

Решение уравнения в виде формального ряда Лорана

Выделив главную часть в разложении (2)

                     (5)

подставим (5) в (1), решаем полученное уравнение относительно . Соберем члены с одинаковыми степенями, получим равенство, которое распадается по степеням :

              ,                                           (6)

это равенство  может иметь два решения:

А(-4). Если старший коэффициент  является функцией, тогда

             .                                           (7)

Б(-4). Как это бывает обычно при исследовании на свойство Пенлеве, старший коэффициент  полагают равным постоянной величине, в нашем случае это возможно при дополнительных условиях, задаваемых на функцию . Положим для компенсации коэффициентов в равенстве (6) .

         ЛЕММА 2(Б). Чтобы функция  и резонансный коэффициент  ряда (5), представляющего решение уравнения (1), был произвольной независимой функцией от , необходимо выполнение следующего условия:

.                                                 (8)

Найдем явный вид нескольких последующих коэффициентов разложения.

                  ;                  (9)

А(-3). При подстановке значения  (7) в левую часть (9) остается

 .                                           (10)

ЛЕММА 2(А). Чтобы функция  и резонансный коэффициент  ряда (5), представляющего решение уравнения (1), был произвольной независимой функцией от , необходимо выполнение следующего условия:

,                                           (11)

Б(-3). При выполнении леммы 2(Б) в равенстве (9) остается единственный член , что приводит к необходимости положить дополнительно , а это означает, что  - линейно зависит от , т.е. , тогда в силу (8) приходим к соотношению на функции :

,

равенство возможно при условии , тогда , (постоянную интегрирования положили равной нулю) в результате получилась

 ,                              (12)

где  - произвольная постоянная, и  и  одновременно не равны нулю, при этом  - остается произвольной функцией.

       

       (13)

из полученного равенства находим ранее неизвестный коэффициент :

А(-2). С учетом равенства (10), получаем следующее значение

.   (14)

Б(-2). Используя (12), находим          

                                 (15)

Для произвольной степени  запишем общее уравнение и найдем рекуррентную формулу для определения последующих коэффициентов  ряда Лорана

  (16)

Выделим члены, содержащие старшие коэффициенты , каждый коэффициент определяется единственным образом через ранее определенные

Для случая А(n): 

      (17)

Произведенные исследования позволяет сформулировать следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1(А). Нелинейное уравнение (1) в случае выполнения для функции  дополнительного условия (11) обладает свойством Пенлеве.

ТЕОРЕМА 2(А). Нелинейное уравнение (1) имеет решение в виде формального ряда (5) с коэффициентами, определяемыми по рекуррентной формуле (17), где старший коэффициент  определяется в виде (12),   - произвольная функция, функция  удовлетворяет нелинейному уравнению в частных производных (11).

         Для случая Б(n):

                          (18)

Обобщим полученный результат в виде теоремы.

ТЕОРЕМА 3(Б). Нелинейное уравнение (1) имеет решение в виде ряда

с коэффициентами, определяемыми по рекуррентной формуле (18), где старший коэффициент ,   - произвольная функция,  - произвольный параметр.

Частные решения в виде ряда Лорана

         Полученное решение в теореме 1 имеет дополнительное условие, накладываемое на функцию  - (11). Рассмотрим два частных случая, когда  зависит только от одной переменной.

I. Пусть  - функция одной переменной, тогда  и коэффициенты примут вид:

  (19)

ТЕОРЕМА 4. Нелинейное уравнение (1) имеет решение в виде ряда

с коэффициентами, определяемыми по рекуррентной формуле (19), где старший коэффициент ,   - произвольная функция,  - произвольный параметр.

II. Частное решение (11) в виде бегущей волны .

ТЕОРЕМА 5. Уравнение (1) имеет решение в виде формального ряда

с коэффициентами, определяемыми по рекуррентной формуле (17), где , ,  - произвольные дифференцируемые функции.

II. Пусть , тогда условие (11) примет решение

.                                          (20)

ТЕОРЕМА 6. Нелинейное уравнение (1) имеет решение в виде

с коэффициентами, определяемыми по рекуррентной формуле (17), - имеет вид (20),  - произвольная функция,  - произвольный параметр.

 

Литература

1. Cosgrove C.M. Painleve classification of all similinear partial differential equations of the second order. – Stud. Appl. Math. 1993. V. 89. P. 1-61.

2. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. – М: Ижевск. АНО «Институт компьютерных исследований», 2004, с. 359.

3. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations. – J. Math. Phys. 1983. V. 24. № 3. P. 522 – 526.

4. Сурнева О.Б. 2+1 –мерное дифференциальное уравнение в частных производных обладающее парой Лакса//Materiály VIII mezinárodní vědecko - praktická konference «Zprávy vědecké ideje - 2012». - Díl 21. Matematika. Fyzika. Moderní informační technologie. Výstavba a architektura: Praha. 2012. С. 3-5.