Евсеев В.И.,канд. физ-мат наук, доцент, Казань

 О равномерной трехзначной логике

 

1.1.         Основные понятия

Равномерная трехзначная логика, которую мы будем обозначать  , характеризуется универсумом , состоящим из трех классов высказываний

 – ложные высказывания,

 – гипотетические высказывания,

 – истинные высказывания.

Каждому указанному классу истинности соответствует значение функции истинности, которую мы будем обозначать ,  при этом для равномерной трехзначной логики эти значения  каждого высказывания определяются из основной таблицы:

 

0

1

 

Значения функции истинности мы будем часто обозначать просто , если это не вызывает недоразумений по содержанию.

Из основной таблицы следует, что  функция истинности удовлетворяет характеристическому основному уравнению:

                                                                         (1.1) 

 

Для построения отделяющих функций применяется следующая схема.

Из основного уравнения для класса определяется частичное произведение

.

Эта функция принимает значение 0 на классах  и ,а для класса получаем

.

 Поэтому отделяющая функция класса имеет вид

         .                                                               (1.2)

Для класса гипотез получаем частичное произведение

,

значения которого для классов и равны нулю, а для класса получаем:

         .

Значит, для класса  получаем

 .                                                              (1.3)

Для класса истинных высказываний получаем частичное произведение

         ,

что приводит к значению на этом классе:

         ,

таким образом, получаем отделяющую функцию этого класса:

.                                                                     (1.4)

Нам будет  также удобно пользоваться другими выражениями этих функций:

,

,                                                                                (1.5)

.

 

1.     2. Свойства отделяющих функций

 

Прежде всего, отметим, что само высказывание имеет следующее символическое строение

                   .                                            (2.1)

Поэтому можно найти его функцию истинности в виде

.

Следовательно, с учетом реальных значений, получим:

         .                                                            (2.2)

Сумма трех отделяющих функций равна единице:

                                                                          (2.3)

Эти функции условно ортогональны с учетом основного уравнения.

Действительно, получаем:

                (2.4)

Аналогично, для двух других произведений:

                                                          (2.5)

                                                                       (2.6)

Кроме того, они обладают свойством условной идемпотентности в силу основного уравнения.

Так, для квадрата первой отдаляющей функции получаем:

         ,                       (2.7)

         ,                (2.8)

                                    (2.9)

Таким образом, отделяющие функции образуют полную ортогональную систему функций относительно основного уравнения логики  .

Нам будет удобно также пользоваться связями между отделяющими функциями:

                                                                           (2.10)

                                                                                                (2.11)

                                                                                          (2.12)

Эти соотношения часто и эффективно применяются при изучении композиции различных операций.

1.3.         Логические операции с одной переменной

1

 

 

 

1

 

 

 

1

Такие операции называются унарными. Они в данном случае состоят из трех видов матричных операций. Они описываются двумя системами циклических матриц третьего порядка. Матрицы первого цикла состоят из единичной матрицы , которая имеет вид  

                                          =   

 

А также двух матриц, не имеющих неподвижных элементов (на главной диагонали):                                                                           

 

1

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

 

                              

       =                                                           =                                   

 

                         

   Матрицы второго цикла имеют по одному неподвижному элементу   (на главной диагонали)                                                                   

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

 

1

 

           

=       =                   =

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

          Эти матрицы обладают свойствами

         ,  ,  ==, ,

         , =, =, =,                 (3.1)

         =, =, = .

Теперь рассмотрим последовательно сами эти операции.                                    

а) Унарная операция инверсии. Она определяется матрицей   и характеризуется симметрией относительно класса гипотез. Эта операция является аналогом операции отрицания в классической логике.

Инверсию можно задать в матричной форме:

 

 

1

 

=

 

1

 

1

 

 

          

    

 

 

 

Значит, для инверсии получаем:

(X)=,                                       (3.2)

а функция истинности имеет вид

.                                                         (3.3)  

 

б)Аналогично, для логического сдвига получаем

 

 

1

 

 

 

1

1

 

 

H

E

Е

H

            

Т (X)    =         =

 

Таким образом, для преобразования высказывания находим:

(X)= ,                                        (3.4)

а для функции истинности получается формула:

                 .                                                   (3.5) 

Подобная же формула получается и для второго логического сдвига:

,                                                     (3.6)

или в матричном виде

 

 

1

1

 

 

 

1

 

Е

Н

H

E

          

(X)    =         =

 

Это приводит к формуле для функции истинности:

.                                                                                                 (3.7)

Все остальные унарные операции являются композициями изученных.

Литература:

1.     Евсеев В.И. Основы аналитической семантики. «Lambert».2014 г.

2.     Евсеев В.И. Основные понятия трехзначной «мягкой» логики.//Areas of sciеntific  thought. Материалы XI международной научно-практической конференции , т.20(8 – 12). Sheffild. 2015 г.