Комолов В.М., к. физ.-мат. наук Латынин Ю.М.

Украинская инженерно-педагогическая академия. г. Харьков

 

Розы как составляющие трохоидальных кривых.

      

Введение. При изучении циклоидальных кривых в отдельную группу относят так называемые трохоидальные розы, которые являются частным случаем трохоид [1,2]. Комплексная форма уравнений циклоидальных кривых, в [3] позволила предположить, что розы являются составляющими  внутренней структуры трохоид. Обоснуем это положение, уточнив ряд определений, следуя [1]. Эпициклоиды и гипоциклоиды − частные случаи циклоидальных кривых, когда вычерчивающая их точка лежит на окружности производящего круга радиуса r, при этом параметры m=r/R, s=d/R m=s характеризуют их свойства. Когда вычерчивающая точка находится не на окружности  производящего круга, а отстоит от него на расстоянии  d (s=d/R>1 или  s=d/R < 1)  получают кривые, называемые трохоидами (s≠m). Последние подразделяют на эпитрохоиды и гипотрохоиды, когда производящий круг катится по внешней или внутренней стороне неподвижного круга  радиуса  R.  Если  d < r (s< m)  она будет укороченной, при d > r (s> m)  − удлиненной, а при  d=r (s= m)  трохоида превращается в эпициклоиду или гипоциклоиду.

       Розами или кривыми  Гвидо  Гранди  называют семейство кривых, уравнение которых в полярной системе координат  имеет вид:

                                                             (1)

 где a, k  − положительные  постоянные. В соответствии с [1]  к трохоидальным розам относят удлиненную трохоиду, которая отвечает условию:

                                                             (2)

и укороченную:  .                                      (21)

Кривые (1) расположены внутри круга радиуса  а  и состоят из конгруэнтных лепестков (см. ниже).

Основная часть. Теорема I.  Уравнения трохоид в комплексной форме описывают в общем случае два набора трохоидальных роз, каждый из которых включает в себя розы, отвечающие уравнению  

                   

 либо обобщенные розы   ,  где  величины a, b, c, k считаются положительными.

Уравнения эпитрохоид в комплексной форме представлены в [3]:

       .         (3)

После ряда преобразований  (3) получаем уравнение (31) [3]:

    ,            (4)

где   , а u* - сопряженный u   комплекс. 

      z= z1 +z2, где    ,  причем:   

Из анализа (5÷8) вытекает 2 вывода:

 1. Эпитрохоиды содержат два набора обобщенных трохоидальных роз: первый расположен внутри круга радиуса , а второй из них − внутри окружности радиуса  .

2. Результирующая кривая являет собой сумму двух наборов роз в полярной системе координат (с учетом аргументов Ψ1(φ); Ψ2(φ)).

При  m=1, s≠1  система уравнений (5÷8) соответствует улитке Паскаля и для этой кривой справедливы п.1 и п.2 выводов. Система уравнений упрощается  в случае улитки Паскаля – кардиоиды, которой соответствуют значения параметров m = 1 ; s=1. Она описывает две трохоидальные розы:

                  (9)

 Графики кривых r1= r1(Ψ1) ;  r2=r2(Ψ1) при R =1 приведены на рис. 1.

 

 

а)

б)

Рис.1. Зависимость r1(ψ1) (а),  r2(ψ2) (б) при R=1

В [1]  в качестве примера трохоидальной розы рассматривается случай эпитрохоиды при m=1/2, s=1+m, график которой приведен на рис.2. Покажем, что эту кривую можно представить как результат суперпозиции двух обобщенных эпитрохоидальных роз. Уравнения (5-8) при указанных параметрах: 

Графики    r1= r1(φ);  r2=r2(φ) при R=1  представлены на рис. 3.

Уравнения гипотрохоид в комплексной форме  из [3], (ф-ла 12):

      .                (10)

 

Рис.2. Трохоидальная роза: m=1/2, s=1+m

Рис.3. Зависимость r1 (φ), r2( φ)  

В преобразованном виде:

           ;                                  (11)

               , где           

    (12)

               ;                                       (13)

                                 (14)

              .                                          (15)

Из анализа формул (12), (14) вытекает, что и гипотрохоиды содержат два набора обобщенных трохоидальных роз. Первый набор расположен внутри круга радиуса , а второй – внутри круга радиуса . Астроида − частный случай гипоциклоиды при  m=s=1/4. Из (10) находим модуль    и аргумент Ψ(φ)в этом случае:

                                         (16)

График астроиды при R=1 представлен на рис.4а. Из (12÷15) составляющие астроиды имеют следующий вид:

                 (17)

Каждая составляющая  (17) есть четырехлепестковая роза, при этом один набор сдвинут относительно второго на угол π/4 (рис. 4б).

Кривая Штейнера (дельтоида) − также частный случай гипоциклоиды при   m=s=1/3. Модуль ׀z(φ)׀;Ψ(φ) равны соответственно:

а)                                                                      б)

 

Рис. 4. Астроида (а) и зависимость r1(φ) и r2 ( φ) -(б)

 

 

                       (18)

 График  кривой Штейнера при  R =1 представлен на рис. 5. Составляющие уравнения, которые описывает эту кривую из (12-15):

 (19)

Каждая составляющая (19) есть трехлепестковая  роза, при этом один набор сдвинут относительного второго на угол π/3.

Рис.5. Дельтоида

 
 
Выводы: Уравнения трохоид в комплексной форме есть сумма двух слагаемых, каждому из которых соответствует семейство трохоидальных роз (обыкновенных или обобщенных), и на ряде примеров проиллюстрировано существование такой внутренней структуры трохоидальных кривых.

Список литературы:

1. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. Справочн. руководство. - М.: Гос изд. физ.-мат литературы, 1960.- 294 с.

2. Математическая энциклопедия: гл. ред. И.М. Виноградов, М.: Советская энциклопедия, 1984, т.1-5.

3. Комолов В.М., Латынин Ю.М.  Циклоидальные кривые: новая комплекс ная форма уравнений. Materials of the X1 International Research and Practice сonference «Tendency modern science-2015», Vol.21, Mathematics, Physics…. Sheffield. Science  and Education LTD.- P.26-34