Ленюк М.П., Шинкарик М.І.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Тернопільський національний економічний університет

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора

(Конторовича-Лєбєдєва) – Лежандра – Бесселя

на полярній осі

Побудуємо обмежений на множині

розв'язок сепаратної системи модифікованих диференціальних рівнянь (Конторовича-Лєбєдєва), Лежандра й Бесселя

,

, (1)

за крайовими умовами

(2)

та умовами спряження

(3)

У системі (1) беруть участь диференціальні оператори Конторовича-Лєбєдєва [1], Лежандра [2] та Бесселя [3]:

,

.

Ми вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: , , , , , , , .

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння (Конторовича-Лєбєдєва) утворюють функції [1] та ; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Лежандра утворюють функції [2] та , ; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють функції [3] та .

Наявність фундаментальної системи розв'язків дає можливість побудувати єдиний розв'язок крайової задачі (1) – (3) методом функцій Коші [4,5]:

,

, (4)

.

У рівностях (4) – функції Коші:

(5)

(6)

(7)

У рівностях (5) – (7) беруть участь функції:

;

Всі інші величини та функції загальноприйняті [6].

Крайова умова в точці та умови спряження в точках і для визначення величин й дають алгебраїчну систему з п'яти рівнянь:

,

(8)

У системі (8) беруть участь функції

і символ Кронекера [7].

Введемо до розгляду функції:

.

Припустимо, що виконана умова однозначної розв'язності крайової задачі (1) – (3): для будь-якого ненульового вектора визначник алгебраїчної системи (8)

(9)

Визначимо головні розв'язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені крайового умовою в точці функції Гріна

,

, (10)

;

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

,

;

, (11)

,

;

3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

,

,

;

,

,

, (12)

,

,

.

У результаті однозначної розв'язності алгебраїчної системи (8), підстановки одержаних значень величин та у формули (4) й низки елементарних перетворень маємо єдиний розв'язок крайової задачі (1) – (3):

(13)

Побудуємо тепер розв'язок крайової задачі (1) – (3) методом інтегрального перетворення, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

, (14)

- одинична функція Гевісайда [5].

Оскільки ГДО самоспряжений і має на множині одну особливу точку, то його спектр дійсний та неперервний [8]. Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає спектральна вектор-функція

(15)

При цьому функції повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

,

, (16)

за однорідними умовами спряження (3) та однорідними крайовими умовами (2); .

Фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння (Конторовича-Лєбєдєва) утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Лежандра утворюють функції та [2]; ; фундаментальну систему розв'язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють функції та [3].

Якщо покласти

,

, (17)

,

то крайова умова в точці й умови спряження в точках і для визначення шести величин та дають алгебраїчну систему з п'яти рівнянь:

,

(18)

У системі (18) беруть участь загальноприйняті функції [1 – 3].

У результаті розв'язання алгебраїчної системи (18) стандартним способом [7] й підстановки отриманих значень у рівності (17) маємо функції:

,

,

. (19)

У рівностях (19) беруть участь функції:

;

,

,

,

,

,

.

Визначимо числа

, , ,

вагову функцію

(20)

і спектральну щільність

. (21)

Наявність вагової функції , спектральної функції та спектральної щільності дає можливість визначити пряме та обернене гібридне інтегральне перетворення, породжене на множині ГДО [8]:

, (22)

(23)

В основі застосування запровадженого формулами (22), (23) гібридного інтегрального перетворення знаходиться основна тотожність інтегрального перетворення ГДО :

, (24)

,

,

.

Єдиний розв'язок крайової задачі (1) – (3), побудований за відомою логічною схемою [6] методом запровадженого формулами (22) – (24) гібридного інтегрального перетворення, описують функції

(25)

.

У рівностях (25) прийняті позначення:

;

.

Порівнюючи розв'язки (13) та (25) в силу єдиності, маємо наступні формули обчислення невласних інтегралів:

(26)

(27)

(28)

(29)

У рівностях (26) – (29) функції впливу визначені формулами (12), функції Гріна умов спряження визначені формулами (11), а функції Гріна визначені формулами (10).

Зауваження 1. Якщо , то , , . У цьому випадку , , , .

Зауваження 2. Якщо , то , , . У цьому випадку , , , .

Зауваження 3. Якщо , то , , . У цьому випадку , , , .

Зауваження 4. Праві частини в рівностях (26) – (29) не залежать від нерівностей . Отже, можна покласти . При цьому звужується сім'я невласних інтегралів.

Висновком наведених у статті досліджень є твердження.

Основна теорема. Якщо вектор-функція

неперервна на множині , функції задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) і виконується умова (9) однозначної розв'язності крайової задачі (1) – (3), то справджуються формули (26) – (29) обчислення невласних поліпараметричних інтегралів за власними елементами ГДО , визначеного рівністю (14).

Література:

1. Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича-Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280с.

2. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

3. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

6. Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур'є, Бесселя, Лежандра). – Том V. – Чернівці: Прут, 2005. – 368с.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

8. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур'є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368с.