Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

РЕЗОНАНСНІ ЯВИЩА В ПЛАСТИНІ

Якою б функцією координат , не був прогин пластини, його завжди можна навести в прямокутній області подвійним рядом за нормальними функціями, тобто

,

де , – числа напівхвиль згину відповідно вздовж осей та ; – зміщення точки поверхні пластини з координатами , в напрямку . Падаючу звукову хвилю наведемо у вигляді

де – амплітуда тиску відповідної форми і , – числа напівхвиль звукового тиску, які приходяться на довжину і ширину пластини.

Неповний просторово-частотний резонанс. Розглянемо випадок, коли

; .

Це означає, що за означених умов точно співпадають вузлові лінії –ї та –ї форми падаючої та згинної хвиль. Але тільки в напрямку осі . Якщо , а , тоді сівпадіння ліній вузлів буде в напрямку осі .

Максимальне значення роботи падаючої хвилі на переміщенні буде дорівнювати

. (1)

Зінтегрувавши цей вираз, остаточно маємо:

. (2)

Для визначення прогинів пластини для трьох значень індексів , , , маємо:

. (3)

Не викликає сумнівів, що при , , , ..., прогини максимальні.

Обираючи звукову хвилю у вигляді

,

де – амплітуда тиску; – хвильове число, визначаємо прогин пластини:

(4)

Таким чином, закон згинних коливань буде визначатися формулою:

(5)

Аналіз свідчить, що за наявності одночасної рівності

; ,

має місце просторово-частотний резонанс. Якщо проявляється лише одна з цих нерівностей, тоді має місце і один з резонансів – просторовий (), або частотний ().

Коли , , , , ..., величини прогинів сягають максимуму. Якщо , , ..., тоді згин пластини дорівнює нулю.

Крім зазначених особливостей, звертає на себе увагу також і такий. При

; ,

згин пластини дорівнює нулю. Ці рівняння окреслюють лінії вузлів.

Структура згинних коливань за умови прояву неповного просторово-частотного резонансу така ж сама, як і при просторово-частотному резонансі. Але величини прогинів суттєво менші.

Частотний резонанс. З метою виключення можливості співпадіння –ї форми акустичного впливу та –ї форми згинних коливань, приймемо, що

; .

Це відповідає наявності частотного резонансу.

Максимальна робота падаючої хвилі на переміщенні окреслюється виразом:

. (6)

Зінтегрувавши, остаточно маємо:

. (7)

Як і в попередньому, одержуємо значення прогину пластини:

. (8)

Якщо прийняти звукове випромінювання у зазначеному вигляді, тоді величина прогину буде обчислюватися за формулою

(9)

а закон згинних коливань набуде вигляду:

Структура згинного руху така ж сама, як і в попередньому, однак абсолютні величини прогинів найменші, порівняно з попереднім.