Мельник В.Н., Карачун В.В.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

ДИФРАКЦИЯ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ НА ИДЕАЛЬНОЙ И ИМПЕДАНСНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

 


Пусть на поплавок подвеса гироскопа, наклонно к его продольной оси, падает плоская звуковая волна проникающего излучения (рис. 1)

                               (1)

Вектор , определяющий направление падающей волны, лежит в плоскости . Амплитуда принята равной единице.

Задача дифракции формулируется следующим образом. На поплавок гироскопа падает волна . В результате рассеяния возникает новое поле , которое можно представить в виде

 ,                                     (2)

где  - рассеянное поверхностью  поплавка звуковое поле. Требуется определить  таким образом, чтобы полное поле  на поверхности поплавка удовлетворяло одному из следующих граничных условий:

, дифракция звука на абсолютно мягкой поверхности (задача Дирихле);

, дифракция звука на абсолютно жесткой поверхности (задача Неймана);

, дифракция звука на импедансной поверхности (смешанная краевая задача). Здесь  для гармонического колебательного движения.

Величина импеданса  поверхности  определяется отношением звукового давления к нормальной составляющей колебательной скорости (со знаком “минус”), то есть

.                                          (3)

Выбор знака обусловлен следующим обстоятельством. У выпуклой поверхности  нормаль направлена наружу и положительное значение колебательной скорости  также направлено во внешнюю область “2” (рис. 1). С другой стороны, при положительном звуковом давлении у поверхности , она будет стремиться прогибаться во внутреннюю область “1” и колебательная скорость будет отрицательной. Чтобы устранить это противоречие, вводится отрицательный знак.

Для вогнутой поверхности поплавка, нормаль направлена во внутреннюю область “1” и в формуле (3) берется знак плюс. Выразив потенциал через звуковое давление и колебательную скорость, получим соотношение

 ,

где  - коэффициент;  - плотность среды.

Четвертая краевая задача

называется смешанной. Из нее, как частные случаи,  ,  , , следует, соответственно, первая, вторая и третья задачи.

Существует еще обширный класс проблем, для которых граничные условия являются более сложными и зависят не только от первой производной потенциала, но и от производных более высоких порядков. В общем случае такие граничные условия можно записать в виде

 ,

где  - дифференциальный оператор, определяющий свойства поверхности. Если , , , то получаются записанные выше граничные условия.

Реальные поверхности являются упругими, поэтому указанные выше граничные условия должны рассматриваться, как соотношения, приближенно характеризующие свойства поверхности поплавка.

Звуковое поле вне поплавка , зона “2”, то есть результат наложения звукового поля падающей волны , рассеянной цилиндром  и излучаемого упруго колеблющейся поверхности , т.е.

 ,                 (4)

где

;

;

;

- волновое число;  - коэффициенты;  - цилиндрические функции; 1 – амплитуда падающей волны.

Поле внутри поплавка, то есть в зоне “1”, есть результат излучения звука его колеблющейся поверхностью во внутреннюю область –

,

где  - коэффициент;  - волновое число  внутренней полости.

Окончательный вид звуковых полей в зонах “2” и “1” можно представить после отыскания коэффициентов , :

 ;               (5)

 ,                (6)

где  - механический импеданс:

 ;

.