Шилинец В. А., Ольшевская А. В., Двуреченская М. Г.

Белорусский государственный педагогический университет

О ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНВАРИАНТНЫХ
ВЕКТОР-АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

Функционально-инвариантные решения некоторых уравнений математической физики изучались многими авторами [1–15].

Как известно [1–6], функционально-инвариантным решением уравнения

называется такое решение , если произвольная дважды дифференцируемая функция также является решением этого уравнения.

Цель настоящей статьи – решение краевой задачи для одного класса функционально-инвариантных вектор-аналитичесеих функций.

Нам потребуются некоторые определения.

Определение 1. Следуя Рейниху, называем вектор-функцию ( – комплекснозначные дважды непрерывно дифференцируемые функции от координат в некоторой области ) вектор-аналитической [11–16], если

. (1)

Если вектор-аналитической является вектор-функция , то вектор-аналитической будем называть и гиперкомплексную функцию , где – база какой-либо линейной ассоциативно-коммутативной алгебры с единицей над полем комплексных чисел.

Система (1) является некоторым обобщением известной системы Коши-Римана на трехмерное пространство и частным стационарным случаем системы Максвелла для электромагнитного поля в пустоте

,

если положить в этой системе , где и т.п. В связи с этим возникает задача получить класс решений системы (1), для которых возможно построить интнгральное представление.

Определене 2. Гиперкомплексная функция

называется моногенной в смысле В.С. Федорова (F-моногенной) [17] по другой гиперкомплексной функции в некоторой области , если найдется такая функция , что для всех точек области имеем

, (2)

где .

Известно, что сумма, произведение, отношение моногенных по функций, а также функция, аналитическая от , будут моногенными по
( если, конечно, указанное отношение функций существует ) [17] .

Определение 3. Вектор-аналитическая функция называется функционально-инвариантной, если всякая функция , моногенная в смысле В.С. Федорова по , будучи записана в виде , также определяет вектор-аналитическую функцию , т.е. .

В данной работе мы ограничимся случаем такой алгебры, в которой , причем .

Перейдем к нахождению функционально-инвариантных решений системы (1). Полагая , , и т.п.,

, , , из (2) получим

, , (.

Поэтому имеем

, (3)

а также

. (4)

Заметим, наконец, что если , то , ; если , то , ; если , то , . Отсюда и из равенств (3), (4) получаем следующую теорему.

Теорема. Вектор-функция будет функционально-инвариантным решением системы (1) при следующих необходимых и достаточных условиях:

( (5)

или

, , , ()

, , , ()

, , . ()

Следствие.

, , . (6)

Из уравнения (6) следует, что , , , , , где – произвольные дифференцируемые по и функции.

Тогда система () примет вид , , .

Легко проверить, что последняя система равносильна системе

, , (7)

а система () равносильна системе

, . (8)

Очевидно, что известное условие интегрируемости системы (7) относительно и системы (8) относительно имеет вид

. (9)

Легко проверить дифференцированием, что дифференциальное уравнение (9) имеет решениями любые аналитические функции вида:

, , ()

где – комплексные корни «характеристического» уравнения .

Подобно тому как множество гармонических функций есць множество решений уравнения Лапласа, множество функций вида () образует множество решений уравнения (9).

Системам (7) и (8) удовлетворяют функции

, и ,

соответственно ( – корень уравнения ; – произвольная аналитическая функция от ).

Таким образом, функция будет функционально-инвариантной вектор-аналитической функцией, если , , , где – корень уравнения , – произвольная аналитическая функция от , , , т.е. любая функция

, ()

F-моногенная по (например, , , ), также является решение системы (1).

Множество решений системы (1) (вектор-аналитических функций), определяемых функциями вида (), можно считать общим решением системы (1). При этом каждая функция , F-моногенная по , также является функционально-инвариантной вектор-аналитической функцией.

Рассмотрим следующую краевую задачу.

Задача. Пусть функция и функция , моногенная в смысле В.С. Федорова по , определены на некоторой замкнутой двумерной поверхности , гомеоморфной сфере конечного диаметра и достаточно гладкой для возможности использовать формулу Остроградского
( – внутренность поверхности ).

Требуется найти в любой точке значение функции , моногенной в смысле В.С. Федорова по , если известны ее значения на поверхности .

Для решения сфрмулированной задачи используем следующее представление В.С. Федорова [18]. Если

1) функция – моногенная в смысле В.С. Федорова по в области ;

2) , (10)

то для каждой точки имеем

, (11)

где , , под знаком интеграла , точка , – направляющие косинусы внешней нормали к ,

, , .

Легко проверить, что функционально-инвариантная вектор-аналитическая функция удовлетворяет условиям Федорова (10), и дл функции , моногенной по , имеет место интегральное представление (11), при помощи которого и решается сформулированная выше краевая задача.

Литература:

1. Соболев С.А. Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Труды физ.-мат. института АН СССР.–1934.– Вып. 5.– С. 117-128.

2. Смирнов В.И. Курс высшей математики.– М.:ГИТТЛ, 1953.– Т. 3.– Ч. 2.– С. 196-204.

3. Еругин Н.П. О функционально-инвариантных решениях // Уч. зап. ЛГУ. Сер. мат. наук.–1948.– Вып. 15.–С. 101-134.

4. Еругин Н.П. Функционально-инвариантные решения уравнений гиперболического типа с двумя неизвестнымипеременными // Уч. зап. ЛГУ. Сер. мат. наук.–1949.– Вып. 16.–С. 142-166.

5. Смирнов М.М. Функционально-инвариантные решения волнового уравнения // Доклады АН СССР.–1949.– № 6. –Т. 67.– С. 977-980.

6. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики.– М.:ГИФМЛ, 1962.– С. 128-139.

7. Стельмашук Н.Т. Об одном исследовании системы Максвелла с помощью F-моногенных функций // Журнал выч. матем. и матем. физики.–1967.– Т. 7.– № 2.– С. 431-436.

8. Стельмашук Н.Т. О функционально-инвариантных решениях некоторых систем уравнений математической физики // Rev. Roum. de Math. Pur. et Appl.–1968.– Т. 13.– № 9.– P. 1455-1459.

9. Стельмашук Н.Т. Построение функционально-инвариантных решений системы Максвелла для электромагнитного поля в пустоте // Весці АН БССР. Сер. фіз.-мат. навук.–1974.– № 4.– С. 35-39.

10. Пенчанский С.Б. О функционально-инвариантных решениях одной системы дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения.–1985.– Т. 21.– № 8.– С. 1449-1450.

11. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Об интегральном представлении функционально-инвариантных вектор-аналитических функций // Весці НАН Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук.–2006.– № 1.– С. 44-47.

12. Стэльмашук М.Т., Шылінец У.А. Аб краявой задачы для функцыянальна-інварыянтных вектар-аналітычных функцый // Весці БДПУ.–1995.– № 1.– С. 85-88.

13. Стельмашук Н.Т., Шилинец В.А. Об интегральном представлении функционально-инвариантных вектор-аналитических функций // Математическое моделирование и краевые задачи: тр. IV Всерос. науч. конф. с междунар. участием. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи.– Самара: СамГТУ, 2007.– С. 172-174.

14. Стэльмашук М.Т., Шылінец У.А., Струнеўская Т.Л. Рашэнне краявой задачы для аднаго класа функцыянальна-інварыянтных вектар-аналітычных функцый // Весці БДПУ. Сер. 3. –2007.– № 1.– С. 23-26.

15. Стэльмашук М.Т., Шылінец У.А., Андрэеева Г.А. Аб краявой задачы для функцыянальна-інварыянтных вектар-аналітычных функцый // Весці БДПУ. Сер. 3. –2010.– № 2.– С. 17-19.

16. Reinich G.Y. Analytic functions and math. physics // Bull. Amer. Math. Soc.–1931.– Vol. 37.– P. 689-714.

17. Федоров В.С. Основные свойства обобщенных моногенных функций // Известия вузов. Математика.–1958.– № 6.– С. 257-265.

18. Федоров В.С. Об одном обобщении интеграла типа Коши в многомерном пространстве // Известия вузов. Математика.–1957.– № 1.– С. 227-233.