М.П. Ленюк, Т.М. Олійник

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

МОДЕЛЮВАННЯ ДИФУЗІЙНИХ ПРОЦЕСІВ В НЕОДНОРІДНИХ СЕРЕДОВИЩАХ З М’ЯКИМИ МЕЖАМИ МЕТОДОМ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА БЕССЕЛЯ – ФУР'Є – ЛЕЖАНДРА НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ

Моделювання дифузійних процесів на тришаровій полярній осі з м’якими межами математичного приводить до побудови обмеженого в області

розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь параболічного типу [1]

(1)

за початковими умовами

(2)

крайовими умовами

(3)

та умовами спряження

(4)

У рівностях (1) – (4) беруть участь диференціальні оператори Фур’є [2], Бесселя [3], та Лежандра [4]; та диференціальні оператори

Припустимо, що виконані умови на коефіцієнти:

Зауваження 1: Якщо то переходимо до нових початкових умов

Виберемо числа та із алгебраїчної системи:

Інтегральне зображення аналітичного розв’язку дифузійної задачі (1) – (4) знайдемо методом гібридного інтегрального перетворення із спектральним параметром, породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(5)

- одинична функція Гевісайда [5].

Оскільки ГДО самоспряжений й має одну особливу точку , то його спектр дійсний та неперервний. Можна вважати, що спектральний параметр .

Йому відповідає спектральна векторна функція

При цьому функції повинні задовільняти диференціальні рівняння

(6)

за крайовими умовами

(7)

та умовами спряження

(8)

У рівностях (6) – (8) прийняті позначення:

Зауваження 2: Якщо , то ми приходимо до випадку, коли межі області жорсткі по відношенню до відбиття хвиль.

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя складають функції Бесселя першого роду та другого роду [3], фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є складають тригонометричні функції та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального Лежандра складають узагальнені приєднані дійсні функції Лежандра та [4].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє знайти структуру функції у вигляді лінійної комбінації функцій, які утворюють фундаментальну систему розв’язків [2]:

(7)

Крайова умова в точці та умови спряження (8) для визначення шести величин дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

(10)

У системі (10) беруть участь функції:

Візьмемо , де підлягає визначенню. Перше рівняння системи стає тотожністю.

Розглянемо алгебраїчну систему стосовно :

(11)

Визначник системи (11)

Алгебраїчна система (11) має єдиний розв’язок [5]:

(12)

При відомих розглянемо алгебраїчну систему стосовно та :

(13)

Тут прийняті позначення:

,

Визначник алгебраїчної системи (13)

- гама функція Ейлера [6].

Алгебраїчна система (13) має єдиний розв’язок [5]:

(14)

Підставимо в рівності (9) визначені формулами (12) та (14) величини та . Одержимо:

(15)

Отже, спектральна функція визначена.

Визначимо величини

вагову функцію

(16)

та спектральну щільність

(17)

Наявність спектральної вектор-функції , вагової функції та спектральної щільності дозволяє визначити пряме та обернене гібридне інтегральне перетворення , породжене на множині ГДО [7]:

, (18)

(19)

В основі розв’язання поставленої задачі знаходиться основна тотожність інтегрального перетворення ГДО

(20)

У рівності (20) прийняті позначення:

,

Одержані формули (18) – (20) складають математичний апарат для розв’язання поставленої задачі (1) – (4).

Доведення тотожності (22) проводиться стандартним методом [6].

Розв’язання задачі. Запишемо систему (1) та початкові умови (2) в матричній формі:

(21)

Інтегральний оператор згідно формули (18) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

(22)

Застосуємо операторну матрицю-рядок (22) за правилом множення матриць до задачі (21). Внаслідок основної тотожності (20) маємо задачу Коші [2]:

(23)

Припустимо, що . Покладемо , , .

Задача Коші (23) набуває вигляду найпростішої задачі Коші [2]:

, (24)

Розв’язком задачі Коші (24) є функція

(25)

Інтегральний оператор згідно правила (19) як обернений до (22) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

(25)

Застосуємо до матриці-елемента за правилом множення матриць операторну матрицю-стовбець (25)

Одержуємо розв’язок дифузійної задачі (1) – (4):

(26)

Введемо до розгляду головні розв’язки дифузійної задачі (1) – (4): 1) породжені неоднорідністю системи (1) (або початкових умов (2)) функції впливу

(27)

2) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

(28)

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

(29)

У результаті виконання низки елементарних перетворень отримуємо інтегральне зображення аналітичного розв’язку дифузійної задачі (1) – (4):

(30)

Тут - дельта-функція, зосереджена в точці [8].

Зауваження 1. Якщо , то і замість стоятиме . Якщо , то і замість у формулах (27) – (29) стоятиме вираз .

Зауваження 2. Структура головних розв’язків задачі (1) – (4) допускає безпосереднім вибором параметрів одержувати в рамках даної моделі будь-який частковий випадок.

Зауваження 3. Інтегральне зображення (30) аналітичного розвязку задачі (1) – (4) носить алгоритмічний характер. Це дозволяє використовувати його як в теоретичних дослідженнях, так і в інженерних (числових) розрахунках.

Література:

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

3. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АНУССР. Ин-т Математики; 83-3).

4. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера – Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1971. – 432с.

6. Градинштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108с.

7. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004 – 368с.

8. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.