М. П. Ленюк, О.М. Нікітіна

 

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

 

СКІНЧЕННІ ГІБРИДНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ БЕССЕЛЯ – ФУР’Є  – ЕЙЛЕРА НА СЕГМЕНТІ

ПОЛЯРНОЇ ОСІ

Запровадимо інтегральне перетворення, породжене на множині

гібридним диференціальним оператором (ГДО)

                 (1)

         Тут  - одинична функція Гевісайда [1];  - диференціальний оператор Фур’є [2],  - диференціальний оператор Ейлера [2],      - диференціальний оператор Бесселя [3]; .

Означення. За область визначення ГДО  візьмемо множину вектор-функцій з такими властивостями: 1) вектор-функція неперервна на множині ; 2) функції  задовільняють крайові умови

                                         (2)

3) функції  задовільняють умови спряження

.                        (3)

         Зауважимо, що для будь-яких двох елементів  та  справджується базова тотожність

                          (4)

Визначимо числа

вагову функцію

             (5)

та скалярний добуток

                           (6)

Легко перевірити інтегруванням частинами (два рази), що

                                             (7)

         Рівність (7) означає, що ГДО  є самоспряженим оператором. Отже, його спектр дійсний. Оскільки ГДО  на множині  не має особливих точок, то його спектр дискретний.

         Висновок: спектр ГДО  дійсний та дискретний.

Побудуємо власні елементи (власні числа й відповідні їм власні функції) ГДО . Це приводить до спектральної задачі Штурма-Ліувілля: побудувати на множині  ненульовий розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Бесселя, Фур’є та Ейлера.

                                   (8)

за крайовими умовами (2) та умовами спряження (3).

У рівностях (8)   - спектральний параметр,  - компоненти спектральної вектор-функції

         Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  складають циліндричні функції  та [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  складають тригонометричні функції  та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера  складають функції  та  [2].

         Якщо покласти

                    (10)

   

то умови спряження (3) й крайова умова в точці  для визначення п’яти величин  та  дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

             (11)

         В алгебраїчної системи (11) беруть участь функції:

 

         Алгебраїчна система (11) має ненульові розв’язки тоді й тільки тоді коли, її визначник рівний нулю [4]:

                   (12)

            У рівностях (12) беруть участь функції:

         Ми одержали трансцендентне рівняння  для обчислення власних чисел ГДО .

         Нехай  - корінь рівняння (12). Підставимо  в систему (11) й відкинемо останнє рівняння в силу лінійної залежності. При  та довільному  розглянемо алгебраїчну систему стосовно :

                          (13)

Визначник алгебраїчної системи (13)

Алгебраїчна система (13) має єдиний розв’язок [4]:

              (14)

При відомих  та довільному  розглянемо алгебраїчну систему стосовно :

                   (15)

Визначник алгебраїчної системи (15)

Алгебраїчна система (15) має єдиний розв’язок:

                    (16)

Підставивши визначені за формулами (14) та (16) величини та  у рівності (10), маємо компоненти спектральної вектор-функції :

 

Цим спектральна функція  згідно формули (9) визначена.

         Згідно з роботою [5] сформулюємо твердження.

Теорема 1. (про дискретний спектр) Корені  трансцендентного рівняння (12) складають дискретний спектр ГДО : корені  дійсні, прості, симетричні відносно  й на піввісі  утворюють монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою .

Теорема 2. (про спектральну функцію). Система  спектральних вектор-функцій ортогональна на множині  з ваговою функцією , повна й замкнена.

Теорема 3. (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-функція   зображається за системою  абсолютно й рівномірно збіжним на множині  рядом Фур’є:

                 (18)

У формулі (18) бере участь квадрат норми власної функції ГДО :

                   (19)

Якщо перейти до ортонормованої системи функцій

то ряд Фур’є (18) набуває вигляду:

                                (20)

Ряд Фур’є (20) визначає пряме  та обернене  скінчене гібридне інтегральне перетворення  (ГІП) типу Бесселя – Фур’є - Ейлера, породженого на множині  ГДО :

,                                 (21)

                                               (22)

В основі застосувань запровадженого формулами (21), (22) СГІП знаходиться основна тотожність інтегрального перетворення ГДО :

Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція

неперервна на множині , а функція  задовільняють крайові умови

                     (23)

та умови спряження

                  (24)

то справджуються основна тотожність СГІП ГДО :

          (25)

  У рівності (25) прийняті позначення:

 

      Алгоритм застосування покажемо на одній із типових задач математичної фізики неоднорідних середовищ.

          Задача квазістатистики. Побудувати обмежений в області  розв’язок системи рівнянь параболічного типу [6]

                                  (26)

за початковими умовами

                             (27)

крайовими умовами

                    (28)

та умовами спряження

             (29)

      Запишемо систему (26) та початкові умови (27) в матричній формі:

                       (30)

Оператор  згідно правила (21) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

       (31)

      Застосуємо операторну матрицю-рядок (31) за правилом множення матриць до задачі (30). Внаслідок основної тотожності (25) отримуємо задачу Коші:

                    (32)

                                                                   (33)

      Припустимо, що . Покладемо , . Задача Коші (32), (33) набуває вигляду

,                               (34)

      Розв’язком задачі Коші (34) є функція  

                               (35)

      Введемо до розгляду головні розв’язки параболічної задачі (26) – (29):

1)     породжені неоднорідністю системи (26) (початкових умов (27)) функції впливу

,           (36)

2)     породжені крайовою умовою в точці  функції Гріна

           (37)

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

 ,                 (38)

 Оператор  згідно правила (22) як обернений до (31) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

                                              (39)

      Застосуємо операторну матрицю-стовбець (39) за правилом множення матриць до матриці-елемента , де функція  визначена формулою (35):

                                     (30)

      У результаті низки елементарних перетворень одержуємо єдиний розв’язок даної параболічної задачі:

            (41)

        

 - дельта-функція, зосереджена в точці .

За викладеною вище логічною схемою будується інтегральне зображення аналітичного розвязку відповідних типових задач статики та динаміки.

 

 

      Література:

1.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965.-328с.

2.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

3.     Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

4.     Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1971.-432с.

5.     Ленюк М.П. Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича – Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. –280 с.

6.     Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. - Чернівці: Прут, 2001.-228с.

7.     Тихонов А.Н., Самарський А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735с.