Мельник В.Н., Карачун В.В., Лозовик Т.Н., Заброда А.А.

Национальный технический университет Украины «КПИ»

СООТНОШЕНИЯ ЧЕЗАРРО-ВОЛЬТЕРРА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УПРУГИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

ПОПЛАВКОВОГО ПОДВЕСА

Из линейной теории упругости известно, что по заданному полю тензора деформаций определение компонент вектора перемещений (согласно соотношениям Чезаро-Вольтерра) осуществляется с точностью до линейных и угловых перемещений как абсолютно твердого тела. Если тело относиться к декартовым координатам, тогда аналитическая форма представления отыскиваемых компонентов вектора перемещений будет следующей:

(1)

где произвольные постоянные. Если компоненты деформации равны нулю, то

(2)

Подставив (2) в (1), получим:

(3)

Или в векторном виде (на примере U):

То есть,

.

С помощью этих соотношений описываются поступательные и угловые перемещения объекта как абсолютно твердого тела. В этих формулах приняты следующие обозначения: произвольная точка тела; точка, перемещения которой отыскиваются; произвольный контур, соединяющий точки и .

Формулы (1), (2) можно представить иначе:

(4)

и т.д. Здесь

Из соотношений (4) следует, что из общих перемещений при деформировании поверхности можно выделить перемещения, обусловленные только деформированием, а также перемещения абсолютно твердого тела – линейные и угловые.

Как очертить иные составляющие (или их устранить). В линейной теории упругости поступают по разному. Например, для случая, когда точка принадлежит телу и частично закреплена . Возможны другие соображения выбора точки , но чтобы наперед были известны отмеченные величины.

Вернемся к аппроксимации координатных функций. Как видно, здесь, кроме прочего, надо еще учесть перемещения подвеса гироскопа как абсолютно твердого тела. Поэтому дополним эти аппроксимации следующим образом:

(5)

(6)

(7)

Здесь поступательные и вращательные перемещения поплавка как абсолютно твердой оболочки.

В качестве поступательных, выбираем перемещения центра масс поплавка, т. С, под действием главного вектора внешних сил, действующих на подвес. вращательные составляющие перемещения центра масс, обусловленные действием главного момента внешних сил Эти слагаемые,

(8)

считаем наперед заданными (или каким-то образом вычисленными).

Тогда формулы (5), (6) и (7) примут вид:

(9)

(10)

(11)

Остается установить значения корректирующих функций Кравчука для удовлетворения этих выражений принятым граничным условиям, а также ввести функции для обеспечения ортогональности каждой пары слагаемых