А.И. Долгарев

ЭКСПОЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ.

ГРУППЫ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО И ТРАНСЦЕНДЕНТНОГО ПОРЯДКОВ

Аннотация. Компактная группа корней из 1 содержит подгруппы, порядок которых равен натуральному числу, иррациональному или трансцендентному числу. В результате определения произвольной действительной степени комплексного числа получено компактное действительное линейное пространство и экспоциклические группы, содержащие иррациональные степени своих элементов. Экспоциклическая группа корней из 1 порождается любым своим ненулевым элементом, в том числе и элементом натурального порядка. Периодическая часть группы корней содержит циклические и экспоциклические подгруппы. Свободная часть группы корней содержит квазициклические группы различных порядков.

ключевые слова: экспоциклические группы, элементы и группы иррационального и трансцендентного порядков, квазициклические группы различных порядков.

Как правило рассматриваются группы с умножением на целое число (с аддитивной групповой операцией), соответственно с возведением в целую степень (с мультипликативной операцией). Одним из исключений является аддитивная группа действительного пространства с внешней операцией умножения векторов из на скаляры из : скалярным сомножителем может быть любое действительное число, т.е. определено произведение для любых и , а не только произведения для . В [1] определена операция возведения комплексного числа в произвольную действительную степень и получено компактное действительное линейное пространство корней из единицы, [1].

Множество чисел , где , , при фиксированном содержит бесконечно много комплексных чисел модуля 1 из , т.к. бесконечно и непрерывно; между любыми двумя числами из содержится число из . В линейном пространстве содержится как подмножество, линейное пространство над полем рациональных чисел. Множество комплексных чисел , , бесконечно и дискретно, хотя между любыми двумя числами из , , содержится число из , ; мощность счетна, а есть континуум. Рассматриваются свойства подгрупп из .

1. Компактное линейное пространство

Множество комплексных чисел модуля 1 обозначается . Всякое число из записывается в виде

, . (1)

В связи с этим произвольное действительное число представляет собой сумму

, . (2)

Если и два числа из ,,, то

=, . (3)

Имеется мультипликативная группа =, ее нейтральный элемент . В [1] введена альтернативная внешняя операция возведения комплексных чисел в действительную степень:

если , то , . (4)

Проведена проверка всех аксиом линейного пространства над для чисел из и операций (3) и (4) и алгебраическая структура

является действительным линейным пространством, [1, теорема 3], оно компактно, [1, теорема 4]. Внешняя операция обозначена . Имеется рациональное пространство с операцией возведения в рациональную степень; модуль с операцией возведения в целую степень и при . Альтернативная операция (4) однозначна. Согласно формуле Муавра, имеется значений корня степени из 1. В [1] установлено, что все значения для всех содержится в .

2. Степени элементов группы

Комплексным числам из , по (1), соответствуют повороты евклидовой плоскости вокруг неподвижной точки на некоторый угол в положительном направлении или повороты правильных многовершинников. Центральный угол правильного вершинника равен , поворот плоскости вокруг центра вершинника на угол обозначаем, согласно (1),

.

Имеется циклическая группа поворотов, порядок группы равен , определены кратные поворота :

. (5)

Лучше говорить о вершинниках, что удобнее в случае . Наименьшее положительное число такое, что

,

называется порядком поворота и числа из и группы . Согласно (5) и (2), кольцо целых чисел разбивается на классы вычетов по , получается кольцо , изоморфное кольцу поворотов . На множестве поворотов определены операции умножения поворотов (3) и возведения поворотов в целую степень (5), множество поворотов плоскости является модулем; в дальнейшем этот модуль обозначаем , как и соответствующее множество чисел из .

Если , то , это прямое произведение ; циклический модуль является прямым произведением циклических модулей и ,[2, теорема 3]. Пусть произвольное число из , имеется действительное число и комплексное число

,

принадлежащее . Выполняются равенства

.

Действительное число является наименьшим положительным, для которого . Если , то , и если , то . (Разность считается меньшей .) Число , удовлетворяющее перечисленным требованиям, называется порядком элемента группы (и линейного пространства) .

Возможно, что иррациональное число, возможно – трансцендентное. Существуют группы (линейные пространства), элементы которых имеют не только натуральный порядок, но и иррациональный порядок и трансцендентный порядок. Это указано еще в [3]. Наличие иррациональных и трансцендентных степеней элементов подтверждается существованием соответствующих моделей, т.е. подгрупп в .

3. Экспоциклические (циклические) группы

Вместе со всяким (элементом) числом группа содержит и все его действительные степени , . Рассматриваем повороты правильного вершинника вокруг его центра, угол поворота . Пусть теперь действительное число. Неравенства в (1) принимают вид . Всегда можно считать .

1. ЛЕММА. Для всякого из : и .

# Имеем , значит, по (4), . Пусть , тогда . Если , то имеется различных значений корня -ой степени из 1, т.е. . Пусть и , где , . Выполняются неравенства . Тогда . Числа и могут отличаться от 1, следовательно, и . Теперь рассматриваем . Имеем , и . #

2. ЛЕММА. Если неединичные элементы из , то каждый из них является не-

которой и единственной степенью другого.

# Положим , . Выполняется . Обозначим: . Значит, и . . Аналогично, . Единственность степени следу-

ет из единственности частного . #

Если число из , и согласно , то , . На множестве поворотов = определена операция , , см. (3). Произведение степеней из лежит в и, более того, группа; является линейным пространством над .

Группа есть аналог циклической группы , содержащей все натуральные степени элемента . Назовем группу экспоциклической или циклической. На основании леммы 2 справедлива

3. ТЕОРЕМА. Мультипликативная группа корней из единицы является экспо-

циклической и порождается любым своим нееденичным элементом.

# Действительно, пусть и . По лемме 2, для всякого существует , что . Всякий элемент из является некоторой действительной степенью элемента , т.е. =. #

Порождающим элементом экспоциклической группы , как установлено, может быть любой ее неединичный элемент. Если иррациональное, то порядок группы число иррациональное; если трансцендентное, то экспоциклическая имеет транцендентный порядок. Группы таких порядков приводятся в [3]. Если , , то для любого имеем: . Следовательно, справедливо

4. ТЕОРЕМА. Экспоциклическая (циклическая) группа в качестве порождаю-

щего может иметь элемент целого порядка. # Для получения элементов экспоциклической группы по элементу целого порядка обязательно нужно перебирать нерациональные степени порождающего элемента.

Группа абелева. Для любых двух экспоциклических групп , из при выполняется

5. СВОЙСТВО. Если , то – прямое произведение

экспоциклических групп. #

Вместе с экспоциклическими группами существуют и циклические группы иррационального порядка, как подгруппы в . В содержится число . Рассматриваются целые степени числа : , . Множество целых степеней является группой, в самом деле: , , . Порядки чисел и , как элементов группы , в циклической равны соответственно и . Имеются циклические группы , . Очевидно, . Таким образом, группа является прямым произведением групп и : .

Пусть иррациональное число записано в виде радикала некоторого рационального числа . Справедливо

6. УТВЕРЖДЕНИЕ. Для иррационального числа существует рациональная степень,

равная рациональному числу. Для трансцендентного числа не существует рациональной степени, равной рациональному числу.

# Для числа вида , где , имеем степень . Если бы для трансцендентного числа выполнялось соотношение вида , то оно не было бы трансцендентным. #

Однако, по теореме 3, имеет место

7. УТВЕРЖДЕНИЕ. Существует действительная степень, отличная от рациональ-

ной, трансцендентного числа, равная рациональному числу. #

Доказанное утверждение 6 не означает, что группа иррационального порядка является группой рационального порядка. Доказано, что группа иррационального порядка содержит подгруппу рационального порядка. Элементы иррациональной группы содержат иррациональные степени рациональных элементов.

4. Порядки элементов группы корней из 1

Выше выяснилось, что мультипликативная группа комплексных чисел модуля 1 содержит элементы целого, иррационального и трансцендентного порядков и группы иррационального порядка содержат элементы рационального порядка, утверждение 6.

Повороты плоскости вокруг ее точки возможно отображают некоторый вершинник на этот же вершинник. Имеются ввиду повороты на угол . Существуют повороты на углы , где число рациональное, . Повороты называются рациональными.

8. ТЕОРЕМА. Целые степени рациональных поворотов составляют модуль (в частности, линейное пространство над полем Галуа).

# Поворот плоскости на угол имеет порядок , так как есть поворот на угол . Повороту соответствует комплексное число с аргументом , его альтернативная ая степень есть комплексное число с аргументом , который сравним с 0 по . Всякая целая степень поворота на угол = является поворотом не более чем го порядка, так как = , а поворот имеет порядок . Порядок поворота не превосходит . (Порядок поворота меньше , если .) Таким образом, повороты из циклической группы имеют порядок, делящий число , и циклическая порядка исчерпывает все целые степени поворота . Вместе с тем имеем модуль , являющийся модулем.

Если , то рассматриваемый модуль рациональных поворотов является линейным пространством над полем Галуа = . #

9. ТЕОРЕМА. модули и изоморфны.

# Циклические группы и имеют один и тот же порядок. #

10. ТЕОРЕМА. Для всех рациональных чисел , , существует единственный модуль порядка поворотов .

# Утверждение является следствием теоремы 8. #

Экспоциклическая группа , порожденная поворотом целого порядка, см. теорему 4, содержит бесконечное множество элементов и содержит циклическую порядка в качестве собственной подгруппы. Из утверждений настоящего и предыдущего пунктов следует

11. ТЕОРЕМА. Порядки элементов группы могут быть целыми числами, иррациональными и трансцендентными числами. #

5. Периодическая часть группы корней из 1 и свободная часть группы

Всякому комплексному числу , , из соответствует поворот евклидовой плоскости вокруг неподвижной точки, величина угла поворота равна , , действительное число. Если , то и величину угла порота можно найти, исключив из слагаемое, кратное . Для всякого числа , являющегося порядком подгруппы из , соответствующая подгруппа входит в периодическую часть группы . Число , близкое к , тоже конечно, хоть и велико. Поэтому всякая содержится в . Периодическая часть группы содержит группы целого, иррационального и трансцендентного порядков, теорема 11. Это могут быть конечные группы , как группы вращений правильных вершинников, и могут быть бесконечные группы, как циклические группы .

В [2, 3] описываются квазициклические группы, содержащиеся в . Квазициклические группы , см. [4, с. 26], содержат подгруппы как угодно большого порядка. По-

этому квазициклические группы из относятся к (непериодической) свободной части группы . Порождающими элементами групп являются , где

.

Порядки порождающих: . Число неограниченно увеличивается. Группа содержит цепь подгрупп

,

порождающие элементы в группе таковы: . Существуют квазициклические группы типа , , [2]. Пусть каноническое разложение числа , – простые. Группа содержит, например, иррациональную квазициклическую группу , [3]. Пусть . Имеются числа , , . Подробнее: , , , , , … . Порядки порождающих: , , …, , … . Ряд группы уплотняется, [3], подгруппами ряда группы .

Группа содержит группу для всякого трансцендентного числа , т.к. она

содержит числа , что ; они обладают свойством . Имеется цепь подгрупп , составляют квазициклическую группу . Если , то и имеется квазициклическая подгруппа , [3].

Литература.

1. Долгарев А.И. Компактное линейное пространство над полем действительных чисел Долгарев А.И. Действительное компактное линейное пространство. // Материали за 9-а международна научна практична конференция «Настоящи изследвания и развитие», 2013. Том 27. Математика. Физика. Съвременни технологии на информации. София. «Бял ГРАД-БГ» ООД 2013, С. 21 – 28.

2. Долгарев А.И. Квазициклические группы различного типа.// Материали за VIII международна научна практична конференция «Новини на научния прогресс – 2012.» Том 9. Математика. Съвременни технологии на информации. София. «Бял ГРАД-БГ» ООД 2012, С. 39 – 46.

3. Долгарев А.И. Группы иррационального и трансцендентного порядка. Materialy X Miedzynarodowej naukowi-praktyeznej conferencji “Europejska nauka XXI powieka – 2014”, Volume 29. Matematika. Chemia i chemiczne technologie. – Premysl:. Nauka i studia, 2014. P. 49 – 55.

4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т.1. – М.: Мир, 1974. – 335с.