Технические науки/2. Механика

Громов В. А.

Днепропетровский национальный университет им. О. Гончара, Украина

Метод наилучшего базиса в

нелинейных краевых задачах теории пологих оболочек

 

         Неослабевающий интерес к анализу решений нелинейных краевых задач теории пологих оболочек обусловлен широким практическим применением тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях современной техники и сложностью численного построения указанных решений и анализа картины закритического ветвления.

         Рассматриваются уравнения теории пологих оболочек, которые для случая цилиндрической оболочки принимают вид:

,

.                                    (1)

Здесь и далее: , ,  – дли­на, радиус и тол­щи­на оболочки соответственно; , где  – коэф­фициент Пуас­­со­на материала оболочки; , , ,  – безразмерные продольная и окружная координаты (чертой сверху помечены размерные величины); ,  – безразмерные нормальный прогиб и функция усилий; – функция внешнего давления, действующего на оболочку, представлена в виде произведения функций одной переменной; оператор   даётся выражением:

 

.                                   (2)

На границах  формулируются краевые условия, которые вместе с уравнениями (1) и требованием замкнутости (-периодичности) решения в окружном направлении образуют нелинейную краевую задачу для определения напряжённо-деформированного состояния нагруженной цилиндрической оболочки.

В общем виде соотношения (1) могут быть представлены в виде

                          ,                                     (3)

где  - оператор обратный оператору , определённому соотношением (2); нелинейные операторы ,  действуют в пространствах , введённых для анализа нелинейных краевых задач теории пологих оболочек И. И. Воровичем. В этой же работе доказано существование решений нелинейной краевой задачи (1) – функций , .

Зададимся целью отыскать функции , , ,  и величины  и  наилучшим образом приближающие неизвестные функции , :

                   (4.1)                .                 (4.2)

Функции ,  в выражениях (4) не вариируются – это вполне определённые (хотя и неизвестные нам) функции – неизвестными являются и подлежат вариации функции , , ,  и величины  и . В дальнейшем изложении ограничимся преобразованиями (4.1) – преобразования для (4.2) осуществляются аналогично.

Вариация данного соотношения по  с учётом соотношений (3) даёт уравнение

                                  .                   (5)

Четырёхкратное дифференцирование по  выражения (4) даст соотношение

;                       (6)

двукратное дифференцирование по  выражения (4) с последующим двукратным применением формулы интегрирования по частям –

             ;              (7)

четырёхкратное применением формулы интегрирования по частям –

.                 (8)

Здесь  - -кратный интеграл от ; ,  - выражения, выходящие на границы промежутка интегрирования при применении процедуры интегрирования по частям. Заменяя  на , где  определяются из условий минимума выражений

, ,                                  (9)

суммируя таким образом преобразованные соотношения (5)-(8) и подставляя вместо  , в пренебрежении  получаем систему интегро-дифференциальных уравнений относительно , . В сочетании с граничными условиями, аналогичными соотношениями, получаемыми при вариации (4.1) по  и вариации (4.2) по , ,  условиями стационарности (4.1), (4.2) по  и  получаем замкнутый набор уравнений для отыскания , , ,  и величины  и . Для уточнения полученных решений формируются разрешающие соотношения на основе функционала вида:

 

                                         (10)