Д.ф.-м.н. Срумова Ф.В.

Таджикский национальный университет

 

ОБ АСИМПТОТИКЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ  УРАВНЕНИЙ  МАКСВЕЛЛА

 

         Вычислена асимптотика энергии, излученной в пространство почти периодическим источником электромагнитных волн.

         Ключевые слова: электромагнитные волны - почти периодический источник.

         Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для линейной системы уравнений Максвелла первого порядка

                      (1)

Здесь  - нормаль,  и   - соответственно электрические и магнитные поля;  -трёхмерные векторные функции   соответственно,  - самосопряжённый эллиптический оператор первого порядка, действующий в , где - открытая область в , содержащая внешность некоторой  сферы, причём граница области   принадлежит классу   . Пусть  - классическое решение задачи (1). Вопрос о существовании и единственности такого решения исследован в работе [1]. Энергией  назовем интеграл

Следуя методу работы [2], вычислим асимптотику функции  при  для обобщённого решения задачи (1). Как известно [3], обобщённое решение задачи (1) существует и единственно.   Обозначим в дальнейшем   ядро спектральной функции самосопряжённого оператора  , которое представимо в следующем виде:

,

где -матрица решения задачи рассеяния [4].

         Лемма 1. Пусть  , тогда классическое решение задачи (1) представляется в виде

              (2)

Здесь

Интеграл (2) сходится в .

         Лемма 2. Справедливо равенство

где

                                                                       (3)

Рассмотрим далее функции

В результате вычислений получим

         Лемма 3. Пусть  тогда

                                                                         (4)

Пусть  -точка Лебега функции , тогда

                                     .                           (5)

         Доказательство. При условии, что величина   ограничена по  и  в окрестности  и

,

находим (4). Используя теорему о ядрах типа Фейера и соотношение

                                                                     (6)

имеем (5).

         Пусть

                                                                       (7)   

         Теорема. Если

1) ,

2)  для всех  и  есть точка Лебега функции  , то

                                   .                              (8)

Доказательство. Если учесть (7), то (3) приобретает  вид

Принимая во внимание лемму 3, получим (8).

 

Литература

 

1.     Schmidt G.- Arch. Rational Mech. and Anal., 1968, v. 28, N 4. p. 284-322.

2.     Арсеньев А.А.- ЖВМ и МФ, 1970, т. 10, №4.

3.     Ладыженская О.А.- Мат. сб., 1956, т. 39, вып. 4.

4.     Пыжьянов А.М. –Дифференц. уравнения, 1974, т.10, № 6.